专题01 平面的基本性质与推论-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（五）

一.重难点解读 1.判定空间两条直线是异面直线的方法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线． 2.平面的基本性质的应用：性质1用符号语言表示： ．这条性质是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。基本性质2用符号语言表示： 与 重合有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不保证唯一，“只有一个”说明图形如果有的话，顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．性质3符号语言：P∈α,且P∈β EMBED Equation.DSMT4 .揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)，性质3的应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 3.集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。 二．注意点剖析 1．三个公理的作用：平面的基本性质1：①说明了平面与曲面的本质区别；②是判定直线是否在平面内的依据；③也可用于验证一个面是否是平面。平面的基本性质2.证明两平面重合；平面的基本性质3的作用有五个：①判定两个平面相交；②证明点在直线上； ③证明三点共线；④证明三线共点；⑤画两个相交平面的交线．[来源:学科网ZXXK] 2．注意事项(1)应用性质2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．(2)在立体几何中，符号“∈”与“⊂”的用法与读法不要混淆．(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化.（4）在平面几何中，往往把辅助线画成虚线，而在立体几何中则不然，凡是被平面遮住的线都要画成虚线，凡是没被遮住的线都要画成实线，无论是图中固有的线还是后作的辅助线。 三、典例剖析 1.公理1的应用 公理1是证明直线在平面内的依据，证明时只需证明直线上有两个点在平面内。 例1、如图，▲ABC中，若AB，BC在平面 内，判断AC是否在平面 内？为什么？ 解：由AB、BC在平面 内，得 ，根据公理1，得AC在平面 内。 2.公理2的应用 证明共面问题。证明时一般有两种途径：一是先证其中部分元素可以确定一个平面， 再证其余元素在这个平面内；二是先证这些元素分别确定若干个平面，再利用唯一性证明这些平面重合。 例2、已知四条直线a，b，c，d两两相交且不共点， 求证：a，b，c，d四线共面。 证明：（1）无三线共点情况，由于a，c，c，d两两相交，知a，b可确定一平面 ，设 c与a，b分别交于A，B两点，因为 ， ，则 ， 所以 ，同理可证 ，所以a，b，c，d四线共面。 （2）三线共点情况，设a，b，c三线相交于点H，d与a，b，c分别交于E，F，G三点，因为a，c，c，d两两相交且不共点，所以 ，所以点H与直线d可确定一平面 ， 由 ，得 ，又由 ， 得 ，同理可证 ， ，所以a，b，c，c四线共面。 3.公理3的应用 1、作两个平面的交线，解题时只要找出两个平面的两个公共点，再连结这两个点即可。 2、证明多点共线，可先证明这些点是两个平面的公共点，再利用两个平面交线的唯一 性说明这些公共点共线。 例3、已知M、N、P、Q分别是正方体 中棱AB、BC、 的中点，证明：M、N、P、Q四点共面。 解：如图，连结MN并延长交DC延长线于O， 则 ，所以CO＝MB，连结PQ并延长交DC延长线于 ，则 ，所以 ，又因为 ，所以O与 重合，所以PQ、MN相交于一点， 所以M、N、P、Q四点共面。[来源:学_科_网Z_X_X_K] 四、达标测试题 1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行， 则这三个平面把空间分成（ ） A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 2已知直线l，若直线m同时满足以下三个条件：m与l是异面直线；m与l的夹角为定值；m与l的距离为π.那么，这样的直线m的条数为(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．无穷多个 3已知a、b、c、d是四条直线，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是(　　)[来源:学。科。网Z。X。X。K] A．一定同时成立 B．至多一个成立 C．至少一个成立 D．可能同时不成立 4正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 5如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l