专题02 空间平行问题的证明方法-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（五）

线、面平行关系是一种特殊的空间位置关系，是高考考查重点，为使同学们能熟练掌握证明平行的判断与性质，下面从证明平行的方法和引入例题进行剖析。 一．证明平行的方法技巧： 知识点一：1、线线平行的四种证明方法： （1）线线平行的定义：证明线线共面且无公共点； （2）基本性质4：证明两线同时平行于第三条直线。 （3）线面平行的性质定理： 把证线线平行转化为证线面平行，这是最基本也是最重要的方法。 （4）平行平面的性质定理： 知识点二：判断直线与平面平行的三种方法 （1）利用定义：证明直线与平面没有公共点，这一点直接证明是比较困难的，往往借助于反证法来证明。（2）直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。模式： 使用定理时，一定要说明“平面外的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完备。因此要证明 ，则必须在平面 内找一条直线m，使得 ，从而才能达到证明的目的。 （3）面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。推理模式： 知识点三：判断面面平行的三种方法（1）根据定义：证明两个平面没有公共点，往往采用反证法。 （2）根据判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行。推理模式： ；（3）平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。推理模式： 还可以用“垂直于同一条直线的两个平面平行”作为依据证明面面平行。 二注意点剖析：[来源:学科网ZXXK] 1. 证明平行问题，一般地说，就是要证线线平行。事实上，线面平行、面面平行都可转化为证线线平行。如果已知线面平行、面面平行也可用来证线线平行，要注意掌握它们之间的转化关系。 2．线线平行，线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在学习中应发现其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位置关系一定能推导低一级位置关系，下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如下： 在完成证明题时，总是由已知想性质，由求证想判定。 3两个平面平行问题的判定与证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面。 4.辅助线、面是解决有关线面问题的关键，要充分发挥辅助线、面在化空间问题为平面问题中的转化作用。转化思想在立体几何中具有举足轻重的作用，其主要途径是把立体几何问题转化为平面问题来解决。 三．典例印证 例1（2018春•东湖区期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM=tPC，PA∥平面MQB，则实数t的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连AC交BQ于N，交BD于O，说明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，根据三角形相似，即可得到结论． 解：连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，如图 则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则AN= a，AC= a． ∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN ∴PA∥MN，∴PM：PC=AN：AC，即PM= PC，t= ．故选：C． 【点评】本题考查了线面平行的性质定理的运用，关键是将线面平行转化为线线平行，利用平行线分线段成比例解答，考查运算求解能力。考查空间想象能力。 例2（2018•东莞市二模）如图，平面CDEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形CDEF为直角梯形，∠ADC=120°，CF⊥CD，且CF∥DE，AD=2DC=DE=2CF． （Ⅰ）求证：BF∥平面ADE； （Ⅱ）若AD=2，求该几何体的各个面的面积的平方和． 【分析】（I）取DE的中点H，连接AH，HF，通过证明四边形ABFH为平行四边形得出BF∥AH，故而结论得证；（II）利用勾股定理计算各棱长，得出各侧面的面积． 证明：（Ⅰ）取DE的中点H，连接AH，HF．∵四边形CDEF为直角梯形，DE=2CF，H是DE的中点，∴HF=DC，且HF∥DC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，且AB∥DC，∴AB=HF，且AB∥HF，∴四边形ABFH是平行四边形， ∴BF∥AH，又∵AH⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE． （Ⅱ）∵在平行四边形ABCD中，AD=2，CD=1，∠ADC=120°， ∴S四边形ABCD=2× ×2×1× = ，．[来源:学科网] 连结BD， 则DE⊥BD，且DE=2,BD= ,，∴BE= ，又，∴AE2=AB2+