专题06 表面积体积综合问题（二）-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（三）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析 06空间几何体表面积体积综合（二） 方法总结：解关于表面积、体积问题常用方法： （1）分割法：一个几何体的体积等于它的各部分体积之和。 （2）补体法：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积.补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, （3）等积变换法： ①相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底（注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面）；液状物体的形状改变体积不变（比如：水在容器中形状可以多变）. ②等底面积等高的两个同类几何体的体积相等，体积相等的两个几何体叫做等积体。 （4）计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解． 典例剖析-----空间几何体中的数学文化 高考新课标考纲明确注重数学文化的应用与考查，所以数学文化将是高考一道亮丽风景，数学文化对学生数学素质的培养起到重要作用，对培养数学兴趣并且潜移默化培养爱国情感，中国古代数学代表作是《九章算术》，下面剖析几例。 一.求 的值 例1. （2018•沈阳育才中学模拟）《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V= ×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（　　）（一丈=十尺） A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.3 【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V= ×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值． 解：由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V= ×（底面的圆周长的平方×高），∴V= ×（482×11）=2112，∴ ∴π=3，故选：A． 【点评】本题考查圆柱体底面的圆周长、体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 二．求高度 例2 （2018•大连模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　） [来源:学科网ZXXK] A．14 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，则 ×2πr=8，解得：r= ， 所以米堆的体积为V= ×πr2×5= ≈35.56，所以米堆的斛数是 ≈22，故选B． 【点评】考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大． 三．求表面积 例3. （2018•厦门模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（　　） A．2 B．4+2 C．4+4 D．6+4 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的侧面积． 解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′， 底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的侧面积S= =4+4 ，故选：C． 【点评】本题考查三视图求几何体的侧面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 四．求体积 例4.（2018•上饶一模）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABC、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB=6，CD=8，EF=10，EF到面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是（　　） A．110 B．116 C．118 D．120 【分析】将几何体分解成一个直棱柱和两个相同的不规则几何体，将三个几何体改变位置组合成一个直棱柱进行计算． 解：过A作AP⊥CD，AM⊥EF，过B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组