苏科版数学七年级上册 第二章有理数：绝对值综合训练 知识点与同步训练 讲义（解析版）

绝对值综合 一．利用代数意义去绝对值号 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即 ， 还是 ）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号． 如：计算 _____________ ． 由于 ，所以 ，根据绝对值的代数意义，应有 ． 注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化．当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来． 例如，计算 ：当 时， ；当 时， ． 二．利用零点分段法去绝对值号 对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简． 例如：化简 ． 第一个绝对值内部为 ，当 时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为 ，当 时第二个绝对值为零．我们将 、 称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论． 当 时， 、 均为负值，于是 ； 当 时， 为非负值、 为负值，于是 ； 当 时， 、 均为非负值，于是 ． 零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负． 零点分段法的一般步骤： 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． 三．绝对值的最值问题 的几何意义是数轴上表示数 的点到表示数 、数 两点的距离之和，其中数 、数 的对应点为数轴上的一个定点，数 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动． 绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果． 如计算 的最小值． （1）将使两个绝对值分别为 时的 值标在数轴上（如图），数轴被分为 个区域； （2）假设代表动点 的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即 ． （3）在 个区域中分别画出线段并比较，可以发现当 时，两线段和最小，为定值 ． 若将题目改为计算 的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当 时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了． 经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式： （ ）： 当 为奇数时，在 处取最小值，即在 个点的中心点处； 当 为偶数