专题04 空间几何体的表面积体积（二）-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（三）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析 04空间几何体的表面积、体积(二) 知识点展示： （一）空间几何体的表面积 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的侧面展开图是由多个平行四边形组成的平面图形，，侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和。 特别地，若棱柱的各个侧面都是矩形，则它的侧面展开图也是一个矩形，如果设该棱柱底面周长为c，高为h，则侧面积 ；若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，侧其表面积 （2）棱锥的侧面展开图是由多个三角形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱锥的侧面积，棱锥的表面积就是它的侧面积与底面积的和。 （3）棱台的侧面展开图是由多个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱台的侧面积，棱台的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和。 2、圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 （1）圆柱 圆柱的侧面展开图是一个矩形；如果圆柱的底面半径为r，母线为 ，则圆柱的表面积为 （2）圆锥 圆锥的侧面展开图是一个扇形；如果圆锥的底面半径为r，母线为 ，则圆锥的表面积为 （3）圆台 圆台的侧面展开图是一个扇环；如果圆台的上、下底面半径分别为 ，r，母线长为 ，则圆台的表面积 （4）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的转化 圆柱、圆锥可以看做是圆台的特例，其中圆柱可以看成上、下两底面全等的圆台；圆锥可以看成上底面半径为零的圆台。它们的表面积公式的转化关系是： （二）柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式： （S为底面面积，h为高），特别地，圆柱的体积公式也可以表示为： （r为底面半径，h为高）。 2、锥体的体积公式： （S为底面面积，h为高），特别地，圆锥的体积公式也 可以表示为： （r为底面半径，h为高）。 3、台体的体积公式： 分别为上、下底面面积，h为高），特别地，圆台的体积公式也可以表示为： 分别为上、下底面半径，h为高）。 4、柱体、锥体、台体的体积公式间的转化 特别地， （三）球的体积和表面积 1、球的体积公式： ，它是球体所占空间大小的度量是球半径R的函数。 2、球的表面积公式： 它是对球的表面大小的度量，也是球半径R的函数。 二、学法指导 1、结合模型，在理解的基础上熟练记忆柱、锥、台的表面积公式和体积公式； 2、球的体积公式和表面积公式是用无限分割的极限思想推导出来的，主要是记忆、掌握公式。 三、解题指导 求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积之和，对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面半径和母线长可以用表面积公式直接求出，对于棱柱、棱锥、棱台没有一般计算公式，可以直接根据体积求各个面的面积。 求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化为平面几何知识求出高。 四、方法策略 1、求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型，这类题目的特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上，为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决。其基本步骤是：展开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长。 2、处理有关体积问题时应注意的几个问题 （1）“高”在棱柱与棱锥的体积计算中至关重要，而求高的关键在于确定“垂足”的位置，进而构造平面图形，将空间问题转化为平面问题来解决，有时根据条件灵活选用有关面作为底面，可以简化推理与计算，例如，有公共点的两个三棱锥，若高相等，则其体积比等于其底面积比。 （2）当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利。 1 几何体的“分割” 几何体的分割即将已给的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体， 进而求之。 ②几何体的补形 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正 方体等。另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在某种情况下，可以将台体补成锥体研究体积。 （3）有关柱、锥、台球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。[来源:学科网] 典例精析 一、直接法 直接法就是利用体积公式，直接求解简单几何体的体积的方法，这种方法解决的题型相对简单，但是要注意公式的各种变化运用，如由体积求高。直接法的关键是求高。 例1（2018衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角