2018-2019数学新同步套餐（课件+讲义+习题）选修4-4苏教江苏专用版：4.2　曲线的极坐标方程 (共9份打包)

4.2.1　曲线的极坐标方程的意义 1．理解曲线的极坐标方程的意义． 2．掌握求曲线的极坐标方程的基本方法和一般步骤． 3．掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． [基础·初探] 1．曲线的极坐标方程 一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0；并且，极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线上．那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线． 2．求曲线的极坐标方程的基本步骤 (1)建系(建立适当的极坐标系)； (2)设点(在曲线上任取一点P(ρ，θ)，使点与坐标对应)； (3)列式(根据曲线上的点所满足的条件列出等式)； (4)化简(用极坐标ρ，θ表示上述等式，化简得极坐标方程)； (5)证明(证明所得的方程是曲线的极坐标方程)． 3．直角坐标方程与极坐标方程的互化 或 [思考·探究] 1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？ 【提示】　由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M()的极坐标满足方程ρ＝θ.，)等多种形式，其中，只有(，－2π)或(－，＋2π)或(，)可以表示为(， 2．在极坐标系内，如何确定某一个点P是否在某曲线C上？ 【提示】　在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一个坐标适合曲线C的方程即可． [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 求曲线的极坐标方程 　(1)求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程； (2)在极坐标系中，求半径为r，圆心为C的圆的极坐标方程． 【自主解答】　(1)如图，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点， 则∠xAM＝， ∠OAM＝， ∠OMA＝－θ， 在△OAM中，由正弦定理得 ， ＝ 即， －θ)＝，所以ρsin(＝ 即ρ(sin， sin θ)＝cos θ－cos 化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程， 所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1. (2)由题意知，圆经过极点O，设OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，如图，则OA＝2r，连接AM，则OM⊥MA， 在Rt△OAM中，OM＝OAcos∠AOM， 即ρ＝2rcos(－θ)，即ρ＝－2rsin θ， 经验证，点O(0,0)，A(2r，)的坐标皆满足上式， 所以满足条件的圆的极坐标方程为 ρ＝－2rsin θ. [再练一题] 1．(1)求从极点出发，倾斜角为的射线的极坐标方程． (2)在极坐标平面上，求圆心为A，半径为5的圆的方程． 【导学号：98990009】 【解】　(1)设M(ρ，θ)是所求射线上的任意一点，则射线OM就是集合ρ＝(ρ≥0)． .所以所求射线的极坐标方程是θ＝ (2)在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，OA＝8，AP＝5，∠AOP＝)， .由余弦定理得52＝82＋ρ2－2×8×ρ×cos(θ－－θ或θ－ 即ρ2－16ρcos＋39＝0为所求圆的极坐标方程. 直角坐标方程与极坐标方程的互化 　进行直角坐标方程与极坐标方程的互化． (1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝； (4)ρcos2. ＝1；(5)ρ2cos 2θ＝4；(6)ρ＝ 【自主解答】　(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简得ρsin2θ＝4cos θ. (2)将