专题05 函数模型的应用-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（二）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析 05函数模型的应用 　【要点点击】 课程标准 命题规律 知识要点 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象 解决实际问题的解题过程 （1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 【知识点展示】 1．三种函数模型的性质 　　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x增大逐 渐上升 随x增大逐 渐上升 随x增大逐 渐上升 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上． (2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢． (3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax. 3：解函数应用问题的方法和步骤：求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为： 图表中的第一步：，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论． ，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学化；第二步： 4.函数模型的确定：数学建模即是求得函数模型，而确定函数模型有三种情况：(1)题目中已给出了函数模型，这样利用它解决有关问题即可；(2)题目中的量量间的关系可以用式子表达出来，即可以由题意求出函数模型；(3)拟合函数模型，这需要选择恰当的数学模型去描述该问题，往往拟合函数不唯一，还有一个拟合效果的问题，即哪个更精确． 【典例剖析】 一．一次函数模型建立 例1　某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题： （1）根据图中信息，请你写出一个结论； （2）前15位同学接水结束共需要几分钟？ （3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由． 二．二次函数模型的建立 例2.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六份递增x%,八月份销售额比七月份递增x％,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额为7000万元，则x的值是　　　　.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 例3.将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ,则S的最小值是________。 三．指数、对数、幂函数模型 例4小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： x（月份） 2 3 4 5 6 …… y（元） 1．40 2．56 5．31 11 21．30 …… 小明选择了模型，他的同学却认为模型更合适. （1）你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由; （2）试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？ （参考数据 ） 例5某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：对于每位销售人员，均以10万元为基数，若销售利润没超出这个基数，则可获得销售利润的5%的奖金；若销售利润超出这个基数（超出的部分是a万元），则可获得[0.5+log3（a+2）]万元的奖金．记某位销售人员获得的奖金为y（单位：万元），其销售利润为x（单位：万元）． （Ⅰ）写出这位销售人员获得的奖金y与其销售利润x之间的函数关系式；