2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修2-1苏教版：第2章　圆锥曲线与方程（2.4-2.6） (共10份打包)

§2.4　抛物线 2.4.1　抛物线的标准方程 学习目标　1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题． 知识点　抛物线的标准方程 思考　抛物线的标准方程有何特点？ 答案　(1)对称轴为坐标轴；(2)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于. 梳理　由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)． 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 1．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(×) 2．方程x2＝2py(p＞0)表示开口向上的抛物线．(√) 3．抛物线的焦点到准线的距离为p.(√) 4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√) 类型一　由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程 例1　已知抛物线的方程y＝ax2(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程． 解　将抛物线方程化为标准方程x2＝y(a≠0)， 则抛物线焦点在y轴上， (1)当a＞0时，p＝， ∴焦点坐标F， 准线方程y＝－. (2)当a＜0时，p＝－， ∴焦点坐标F， 准线方程y＝－， 综合(1)(2)知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是F，准线方程是y＝－. 反思与感悟　根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程． 跟踪训练1　(1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________． 答案　2　x＝－1 解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. (2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． ①y2＝40x；②4x2＝y；③3y2＝5x；④6y2＋11x＝0. 解　①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x＝－10. ②由4x2＝y得x2＝y. ∵2p＝，∴p＝. ∴焦点坐标为，准线方程为y＝－. ③由3y2＝5x，得y2＝x.∵2p＝，∴p＝. ∴焦点坐标为，准线方程为x＝－. ④由6y2＋11x＝0，得y2＝－x， 故焦点坐标为，准线方程为x＝. 类型二　求解抛物线的标准方程 例2　根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5. 解　(1)双曲线方程可化为－＝1， 左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3， ∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝AF＝. 又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 反思与感悟　抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程． (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值． 跟踪训练2　已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 解　设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)， 则焦点F，由题意， 得 解得或 故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2. 类型三　抛物线在实际生活中的应用 例3　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为 m，所以h＝|yA|＋＝2(m)．所以水面上涨到