2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修1-1人教B全国通用版：第三章　导数及其应用（3.3） (共8份打包)

§3.3　导数的应用 3．3.1　利用导数判断函数的单调性 学习目标　1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 知识点一　函数的单调性与导函数正负的关系 思考1　观察下列各图，完成表格内容. 函数及其图象 切线斜率k的正负 导数的正负 单调性 正 正 [1，＋∞)上单调递增 正 正 R上单调递增 负 负 (0，＋∞)上单调递减 负 负 (0，＋∞)上单调递减 负 负 (－∞，0)上单调递减 思考2　依据上述分析，可得出什么结论？ 答案　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： (1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增． (2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减． 梳理　函数的单调性与其导数正负的关系 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 增函数 f′(x)＜0 减函数 知识点二　函数的变化快慢与导数的关系 思考　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？ 答案　如图所示，函数y＝f(x)在区间(0，b)或(a,0)内导数的绝对值较大，图象“陡峭”，在区间(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图象“平缓”． 梳理　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”． (1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则必有f′(x)＞0.(　×　) (2)若函数f(x)在区间(a，b)上的导数为常数，则f(x)在(a，b)上不具有单调性．(　×　) (3)若f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上也可以是单调增函数．(　√　) 类型一　利用导数判断函数的单调性 例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减． 考点　利用导数研究函数的单调性 题点　根据导数判定函数的单调性 证明　∵f′(x)＝，又x∈， 则cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0， ∴f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减． 反思与感悟　关于利用导数证明函数单调性的问题 (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f′(x)>(或<)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f′(x)≥(或≤)0. 跟踪训练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数． 考点　利用导数研究函数的单调性 题点　根据导数判定函数的单调性 证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝. 又0<x<e，∴ln x<ln e＝1.∴f′(x)＝>0， 故f(x)在区间(0，e)上是增函数． 类型二　利用导数求函数的单调区间 命题角度1　不含参数的函数求单调区间 例2　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间． 考点　利用导数研究函数的单调性 题点　不含参数的函数求单调区间 解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝6x－＝ ＝， 由x>0，解f′(x)>0，得x>， 由x＞0，解f′(x)<0，得0<x<. 所以函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为， 单调递减区间为. 反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数． (4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数． 跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间． 考点　利用导数研究函数的单调性 题点　不含参数的函数求单调区间 解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝＝. 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)>0，得x>3， 所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f′(x)<0，得x<3， 又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3)． 命题角度2　含参数的函数求单调区间 例3　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性． 考点　利用导数研究函数的单调性 题点　含参数的函数求单调区间 解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝2x－＝. 设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a. 当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(