2017-2018鲁教版八年级数学上册基础训练 四边形证明（讲义+习题 含答案） (2份打包)

四边形证明（习题） · 例题示范 例 1：如图，在□ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连接 AE 并延长， 交 DC 的延长线于点 F． （1）求证：△ABE≌△FCE． A （2）连接 AC，BF，若∠AEC=2∠D， 求证：四边形 ABFC 为矩形． D A D 【思路分析】 B B ①读题标注： ②梳理思路： F F （1）在□ABCD 中，AB∥CD，因为 E 是 BC 边的中点，平行夹中点结构，所以△ABE≌△FCE． （2）由（1）可得，AB=FC，因为 AB∥FC，所以四边形 ABFC 是平行四边形．要证四边形 ABFC 为矩形，根据题目中已有的条件选择判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 由三角形外角定理和等角对等边得到 AE=BE=CE，由定理“如果三角形的一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，得∠BAC=90°，故四边形 ABFC 为矩形． 【过程书写】证明：如图， （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB∥CD ∴∠1=∠2 ∵E 是 BC 边的中点 ∴BE=CE ∵∠3=∠4 ∴△ABE≌△FCE（ASA） （2）∵△ABE≌△FCE ∴AB=FC ∵AB∥FC ∴四边形 ABFC 为平行四边形 ∴∠D=∠1 ∵∠AEC=2∠D ∴∠AEC=2∠1 ∵∠AEC 是△ABE 的一个外角 ∴∠AEC=∠1+∠5 ∴∠1=∠5 ∴AE =BE=CE ∴∠BAC=90° ∴四边形 ABFC 为矩形 · 巩固练习 1. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E，F 在边 BC 上，且 AB∥DE，AF∥DC，四边形 AEFD 是平行四边形． （1）AD 与 BC 有何等量关系？请说明理由． （2）当 AB=DC 时，求证：平行四边形 AEFD 是矩形． A D SHAPE \* MERGEFORMAT B E F C 2. 如图，在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，过点 O 的直线分别交 AB，CD 的延长线于点 E，F． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）当 EF 与 AC 满足什么关系时，以 A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． F A D B C E 3. 如图，在△ABC 中，D 是 AB 的中点．E 是 CD 的中点，过点 C 作 CF∥AB，交 AE 的延长线于点 F，连接 BF． （1）求证：DB=CF； （2）若 AC=BC，试判断四边形 CDBF 的形状，并证明你的结论． C F SHAPE \* MERGEFORMAT A D B 4. 如图，在矩形 ABCD 中，M，N 分别是 AD，BC 的中点，P， Q 分别是 BM，DN 的中点． （1）求证：△MBA≌△NDC； （2）四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由． A B P M N Q D C 5. 如图，在△ABC 中，O 是 AC 边上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，直线 MN 与∠ACB 的平分线相交于点 E，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点 F． （1）求证：OE=OF； （2）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长； （3）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请证明你的结论． A N B C D A SHAPE \* MERGEFORMAT B C D 【参考答案】 · 巩固练习 1. （1）BC=3AD，理由略 （2）证明略 2. （1）证明略 （2）当 EF⊥AC 时，以 A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形证明略 3. （1）证明略 提示：证明△ADE≌△FCE，则 DB=DA=CF （2）四边形 CDBF 是矩形，证明略 提示：先证四边形 CDBF 是平行四边形，因为 AC=BC，D 是 AB 的中点，所以∠BDC=90°，进而得证 4. （1）证明略 （2）四边形 MPNQ 是菱形，理由略提示：由△MBA≌△NDC 得，BM=DN 连接 MN，则四边形 AMNB，四边形 DMNC 均为矩形，可利用直角三角形中斜边中线等于斜边一半进行证明 5. （1）证明略 提示：由角平分线+平行线，可以得到 OE=OC，OF=OC （2） OC ( 13 2 （3）当点 O 运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形， 证明略 5 1 3 E 4 2 C E C O M E O F $$ 四边形证明（讲义） · 课前预习 1. 我们在做几何证明题时，如果已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．而如果要证明某个