专题5.2 三角形的重心、垂心、外心和内心（精讲深剖）-拾阶而上之初高中数学衔接读本

第五章 三 角 形 第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心 ----精讲深剖 三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。 初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。 在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。[来源:Z。xx。k.Com] 【知识梳理】 三角形的四心 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心． (3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．[来源:学科网ZXXK] (4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等． 【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知：D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点， 求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.学科-网 【变式训练】求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 已知： 为 的重心, 求证： 【典例解析】已知 的三边长分别为 ，I为 的内心，且I在 的边 上的射影分别为 ， 求证： . 【变式训练】1.若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知：O为三角形ABC的重心和内心. 求证：三角形ABC为等边三角形. 【变式训练】2.在三角形ABC中，G为重心，I为内心，若AB=6，BC=5，CA=4，求的值．菁优网版 【典例解析】在 中， 为垂心， ， ， ， 为 外接圆半径， 求证: ．学科网 [来源:Z。xx。k.Com][来源:学科网] 【变式训练】设 的外接圆半径为 ，则 求证： ， [来源:学_科_网Z_X_X_K] 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的� HYPERLINK "http://www.lz13.cn/lizhimingyan/7966.html" ��学习�；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。——------高斯 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第五章 三 角 形 第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心 ----精讲深剖 三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。 初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。 在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。 【知识梳理】 三角形的四心[来源:学科网ZXXK][来源:学§科§网Z§X§X§K] (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心． (3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心． (4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等． 【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知：D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点， 求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 【解析】 证明： 连结DE，设AD、BE交于点G， D、E分别为BC、AE的中点， 则DE//AB，且 ， ∽ ，且相似比为1：2， . 设AD、CF交于点 ，同理可得， 则 与 重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成 . 【解题反思】三