专题5.2 三角形的重心、垂心、外心和内心（高效演练）-拾阶而上之初高中数学衔接读本

第五章 三 角 形 第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心 ----高效演练 三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。 初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。 在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。 【知识梳理】 三角形的四心 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心． (3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心． (4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等． 【高效演练】[来源:学#科#网Z#X#X#K] 1．如图所示，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝ 　 度． 2．设 为 的重心，且 ， ， ，则 的面积为 　 ． 3．已知 、 分别为锐角 的垂心和外心， ，垂足为 ，则 ________． 4. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，在OB上任取一点P，连结AP，过D作AP垂线[来源:Z_xx_k.Com] 交OA于Q点．学-科网 求证：OP＝OQ．[来源:学|科|网] 5. 如图3，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AC于点E，G是DE的中点， 求证：AG⊥BE． 6.求证：三角形的三条高交于一点. 已知 中， AD与BE交于H点.[来源:学.科.网] 求证 . 7.（1）设G是△ABC的重心，证明：△GBC，△GAC，△GAB的面积相等． （2）利用（1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．[来源:学科网] 8.已知三角形的三边a，b，c，三角形的重心到外接圆的距离为d，外接圆半径为R，求证：a2+b2+c2+9d2=9R2． 9.一条直线截三角形，把周长 与面积 分为对应的两部分： 与 ， 与 ． 求证：直线过三角形内心的充要条件是 ．学科+网 [来源:Zxxk.Com] 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的� HYPERLINK "http://www.lz13.cn/lizhimingyan/7966.html" ��学习�；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。——------高斯 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第五章 三 角 形 第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心 ----高效演练 三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。 初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。 在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。 【知识梳理】 三角形的四心 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心． (3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心． (4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等． 【高效演练】 1．如图所示，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝ 　 度． 2．设 为 的重心，且 ， ， ，则 的面积为 　 ． 【解析】由 ， ， ，有 ， 知两中线 ， 垂直． 于是 ． 【答案】18 3．已知 、