专题2.1 一元二次方程根的判别式（精讲深剖）-拾阶而上之初高中数学衔接读本

第二章一元二次方程 第1讲 一元二次方程根的判别式--精讲深剖 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。 【知识梳理】 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ，用配方法将其变形为： (1) 当 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为： 【精讲深剖】 一元二次方程根的判别式即是判定方程根的情况的充分条件，也是求解方程根的一般方法。[来源:Z,xx,k.Com] 【典例解析】1.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的 实数根．[来源:学_科_网] （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 【变式训练】 1.已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根；[来源:学科网] (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 2.（1）判断直线 与抛物线 的交点个数； （2）若直线 与抛物线 有两个不同的交点，求 的范围。 3．已知关于x的一元二次方程 . （1）求证：不管 为何值，方程总有实数根；学-科网 （2）若等腰三角形ABC的一边长 ,另两边长 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长. [来源:学科网] [来源:Zxxk.Com] 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的� HYPERLINK "http://www.lz13.cn/lizhimingyan/7966.html" ��学习�；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。——------高斯 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第二章一元二次方程 第1讲 一元二次方程根的判别式--精讲深剖 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。 【知识梳理】 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ，用配方法将其变形为： (1) 当 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根．学科！网 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为： 【精讲深剖】 一元二次方程根的判别式即是判定方程根的情况的充分条件，也是求解方程根的一般方法。 【典例解析】1.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的 实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 【解析】（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0， ∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0， 所以方程一定有两个不等的实数根; ， ． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以，①当a＝2时，Δ＝0， 所以方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝1； ②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根： x1＝1，x2＝a－1． [来源:Z.xx.k.Com] 【解题反思】在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 【变式训练】 1.已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的范围： (1) 方程有两个不