专题2.2 根与系数的关系（韦达定理）（精讲深剖）-拾阶而上之初高中数学衔接读本

第二章一元二次方程 第2讲 根与系数的关系（韦达定理）—-----精讲深剖 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。 【知识梳理】 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程 的两个根为： 所以： ， 定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么：[来源:学,科,网Z,X,X,K] 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是 ． 【典例解析】1.已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值．[来源:学科网] 2. 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求 的值； 学-科网 （2）求 的值； （3）x13＋x23． 【变式训练】 1.若 是方程 的两个根，试求下列各式的值； （1） ； （2） ；[来源:学科网ZXXK] （3） ； （4） ； 2.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积[来源:学_科_网Z_X_X_K][来源:Zxxk.Com] 大21，求m的值．学科+网 3.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的� HYPERLINK "http://www.lz13.cn/lizhimingyan/7966.html" ��学习�；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。——------高斯 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第二章一元二次方程 第2讲 根与系数的关系（韦达定理）—-----精讲深剖 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。 【知识梳理】 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程 的两个根为： 所以： ，[来源:学+科+网Z+X+X+K] 定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是 ．[来源:Zxxk.Com] 【典例解析】1.已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 【分析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值． 【解析】解法一： ∵2是方程的一个根， ∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7． 所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－ ． 所以，方程的另一个根为－ ，k的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－ ， ∴x1＝－ ．由 （－ ）＋2＝－ ，得 k＝－7． 所以，方程的另一个根为－ ，k的值为－7． 【解题反思】本题两种解法进行比较，解法一将已知的根代入方程求解出k的值，再求另一个根；而解法二直接运用韦达定理，建立二元一次方程求解更加高效。 2. 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）x13＋x23． 【解析】∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴ ， ． （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ ＝ ＋6＝ ， ∴| x1－x2|＝ ． （2） ． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－ )×[(－ )2－3×( )]＝－ ． 【解题反思】为了解题简便，我们探讨出一般规律：[来源:Zxxk.Com] 设 分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，则运用根与系数的关系以下变形需掌握； ① ② ③ [来源:学。科。网Z。X。X。K] ④ ；或 EMBED Equation.DSMT4 【变式训练】 1.若 是方程 的两个根，试求下列各式的值； （1） ；