2019年高考第一轮复习：万有引力的理论成就 提高练习

高三第一轮复习：万有引力理论的成就 提高练习 难度(★★★★☆) 第Ⅱ部分 解答题 三、解答题 39．某天文爱好者在地面观测卫星和卫星绕地球做圆周运动的情况，测得时间内卫星运动的弧长为，卫星与地心的连线转过的角度为。已知万有引力常量为，求： （1）地球的质量； （2）若已知卫星绕地球运动的轨道半径为卫星轨道半径的两倍，求卫星运行的周期。 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题可知，卫星1做圆周运动的半径为 卫星1做圆周运动的线速度为 由万有引力提供向心力 求得地球的质量为 （2）卫星1做圆周运动的周期为 因为 根据开普勒第三定律有 解得 40．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g0，不考虑地球自转的 影响并假设地球质量分布均匀且密度为。假若在地球内部距表面深度为的某区域存在一半径为的球形煤炭矿区，设煤炭密度为（小于），则由于该煤炭矿区区域的存在，造成的地球该区域表面重力加速度的变化量的最大值是多少？ 【答案】 【解析】根据题意把地球看成由两部分组成即半径为的球体和剩余部分，则有： 式中F为地球剩余部分对m的作用力；M1为半径为的球体质量，应有： 同理当半径为的球体空间存在密度为的煤炭时应有： 联立解得： 故本题答案是： 41．为纪念“光纤之父”、诺贝尔物理学奖获得者高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”。已知“高锟星”半径为R，万有引力常量为G，若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为H。在不考虑自转的情况，假设“高锟星”为一均匀球体，求： (1)其表面的重力加速度为g； (2)“高锟星”的平均密度；（球体积） (3)卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度； (4)假设某卫星绕“高锟星”做匀速圆周运动且运行周期为T，求该卫星距地面的高度。 【答案】（1） （2） （3） (4) 【解析】（1）由mgH=mv02 解得 （2）根据 解得： （3）卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度： （4）根据 解得： 点睛：解决天体问题的两个主要入手点：一是星球表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供环绕天体的向心力． 42．已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，某行星的同步卫星轨道半径约为该行星半径的3倍，该行星的自转周期约为地球自转周期的一半，那么该行星的平均密度与地球平均密度之比约为多少？ 【答案】108∶343 【解析】行星的同步卫星的周期跟该中心天体自转的周期相同，根据万有引力提供向心力求出中心天体的质量，再求出平均密度。由密度的通项式求解密度之比。 解：设卫星轨道半径为r，中心天体半径为R。 由万有引力提供向心力可得 中心天体质量 中心天体体积为。 由以上式可得， 。 由上式可知行星的平均密度与地球平均密度之比约为 【点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力 ，可以求出中心天体的质量． 43．我国计划于2018年下半年发射的“嫦娥四号”月球探测器是世界首颗在月球背面软着陆和巡视探测的航天器，这会让我们对月球有了更多的关注． （1）若已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，不考虑地球自转．月球绕地球运动的周期为，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径r． （2）若宇航员随登月航天器登陆月球后，在月球表面不太高的h处从静止释放一个小球，经过时间，小球落回月球表面．已知月球半径为R月，引力常量为，试求出月球的质量． 【答案】（1） （2） 【解析】(1)设地球质量为M,月球绕地球运动，根据万有引力提供向心力： 根据地球表面万有引力等于重力： 联立解得： (2)设月球表面处的重力加速度为，根据运动学规律可得： 根据万有引力等于重力： 联立解得： 【点睛】万有引力的应用问题一般由重力加速度求得中心天体质量，或由中心天体质量、轨道半径、线速度、角速度、周期中两个已知量，根据万有引力做向心力求得其他物理量． 44．如图所示，水平实验台A端固定，B端左右可调，将弹簧左端与实验平台固定，右端有一可视为质点，质量为2kg的滑块紧靠弹簧（未与弹簧连接)，弹簧压缩量不同时， 将滑块弹出去的速度不同.圆弧轨道固定在地面并与一段动摩擦因数为0.4的粗糙水平地面相切D点，AB段最长时，BC两点水平距离xBC=1.6m,实验平台距地面髙度h=0.88m，圆弧半径R=0.4m，θ=370，已知 sin370=0.6, cos370=0.8. .假如在某行星表面上进行此实验，并已知在该行星质量是地球质量的4倍，半径是地球半径的5倍，取地球表面的重力加速度为10 m