专题01 函数的切线问题-突破江苏高考数学一卷140必备专题

由导数的几何意义可知函数 在 处的导数即是函数在 处的切线的斜率。故函数 在 处的切线方程是 ， 是切点坐标，既在函数 上也在切线方程 上；与切线有关的考题一般分为以下三类： ①过 上的点 的切线方程为 ②过 外一点 向其作切线，先设切点为 ，写出切线方程 ，又 在切线上，代入得 ③函数 与 的公切线。若切点是同一点，这按照①的解题方法。若切点不同，先假设 上的切点 ，得到切线方程 ； 上的切点 ，得到切线方程 ，因为切线是同一条直线，故得到两个等式 、 下面通过具体与切线有关的例题来看看实际应用。 例1、（2015江苏高考17）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 2，山区边界曲线为 ，计划修建的公路为 ，如图所示， 为 的两个端点，测得点 到 的距离分别为 千米和 千米，点 到 的距离分别为 千米和 千米，以 所在的直线分别为 轴，建立平面直角坐标系 ，假设曲线 符合函数 （其中 为常数）模型． （1）求 的值； （2）设公路 与曲线 相切于 点， 的横坐标为 ． ①请写出公路 长度的函数解析式 ，并写出其定义域； ②当 为何值时，公路 的长度最短？求出最短长度． 解：（1）由题意可得： ， 代入函数 解得 答：当 时，公路 的长度最短，最短长度为 千米。学科%网 例2、（2015无锡高三期末20）设函数 在点 处的切线方程为 . （1）求实数 及 的值； 解：(1) 所以在点 处的切线方程为 其中 ， 解得 例3、（2018高三上百校联考21）已知函数 （ 为常数），其图像是曲线 （3）已知 为曲线 上的动点，在点 处作曲线 的切线 与曲线 交于另一点 ，在点 处作曲线 的切线 ，设切线 的斜率分别为 .问：是否存在常数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 例4、（2018苏锡常镇高三二模19）已知函数 （2） 函数 图象上点 处的切线 与 的图象相交于另一点 ，在点 处的切线为 ，直线 的斜率分别为 ，且 ，求 满足的关系式． 解：设 ，则 在点 的切线方程为： 即 与 联立方程组得： 分组因式分解化简： 所以 点的横坐标 ， 由题意 即 学￥科网 例5、（2018苏北四市高三上期末19）已知函数 ， ⑵若存在与函数