专题02 讨论含有参数的函数的单调性-突破江苏高考数学一卷140必备专题

一、导数可以用来判断函数的单调性，在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减； 注：①常数的导函数 ②函数 在 内单调递增，则 恒成立， 在 内单调递减，则 恒成立， 是 在 内单调递增的充分不必要条件. 二、求解某函数单调区间的步骤：（1）确定函数定义域，对函数 求导；（2）令导函数 解根（要在定义域内）；（3）根据 零点将定义域分成若干个区间，判断每个区间导函数的符号，若 ，则 单调递增，反之， 单调递减； 对于求含有参数的函数的单调区间或者讨论含有参数的函数的单调性解题思路与没有参数基本一致：（1）确定函数定义域，对函数 求导；（2）令导函数 解根，此时可能解出的根含有参数或者参数在分母上，就要对参数进行分类讨论，若在分母上，先讨论是否等于零，再讨论是否在定义域内，不在定义域内说明原函数单调，若在，分区间判定导函数符号，如果有一个根有参数另一个根没有，还要比较两者大小（3）最后总结，写出参数范围下函数 的单调区间。学科&网 例1、（2015江苏高考19）已知函数 （1）试讨论 的单调性； 解：（1） 令 ，可得 或 ． 时， ， 在 上单调递增； 时， 时， ， 时， ， 函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 时， 时， ， 时， ， 函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 例2、（2017扬州高三上期末20）已知函数 ，其中函数 ， ． （2）当 时，求函数 在 上的最大值； 分析：要求函数 在 上的最大值即要研究函数 的单调性 例3、（2017南京盐城高三一模）设函数 ， （ ）. （2）求函数 的单调增区间； 解：（2）因为 ， 所以 （ ） ①当 时，由 ，解得 ； ②当 时，由 ，解得 ； ③当 时，由 ，解得 ； ④当 时，由 ，解得 ； ⑤当 时，由 ，解得 . 综上所述，当 时， 的增区间为 ； 当 时， 的增区间为 ； 时， 的增区间为 . 例4、（2016盐城高三三模19）已知函数 （ ）. （2）设函数 ，试求 的单调区间； 综上所述， 的单调区间如下： ①当 时，函数 在 上单调递增； ②当 时，函数 在 上单调递减； ③当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 与 ； ④当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 与 . 学科.网 例5、（2017南京高三期末20）