专题03 函数的零点问题-突破江苏高考数学一卷140必备专题

函数的零点是江苏高考中的热门考点，在填空题和大题中都有涉及，在填空题中考察学生主要以函数的性质、函数与方程的思想有关，难度不大，而在大题中经常要结合导数、不等式、零点定理来判断零点个数或者由零点个数求取值或取值范围等。本专题的侧重点放在后者。江苏近七年的高考中有四年都考到了函数零点的大题，分别是2013年、2015年、2016年、2018年，2018年从题目上看不是零点，但本质最后就是寻找零点的问题。由此可见其重要性。而在函数零点的解题过程中用的最多的就是利用函数与方程的思想将其看成是两个函数图像的交点的横坐标，运用数形结合画图去判断零点。这样的解题方法在填空题中也许还说的过去，但是在大题中解题过程值得商榷，导数判断函数的单调性只能得到函数图像的走势，并不能准确的画出函数图像，再结合一些函数的渐近线更加无法说明，要解决这类试题需要借助零点定理；即 在区间 上是连续不间断的，且 ，则 在 上存在零点，如果再确定具体是几个，还要结合单调性。 例1、（2013江苏省高考20）设函数 ， ，其中 为实数. (1) 若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的范围； (2) 若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论. （2） EMBED Equation.KSEE3 在 上是单调增函数， EMBED Equation.KSEE3 在 上恒成立，则 ，即 ①当 时，由 以及 ，得 存在唯一的零点； ②当 时，由于 ， ，且函数 在 上的图象连续不间断，所以 在 上存在零点．当 时， ，故 在 上是单调增函数，所以 只有一个零点； ③当 时，令 ，解得 ．当 时， ，当 时， ，所以， 是 的最大值点，且最大值为 ． 当 ，即 时， 有一个零点； 当 ，即 时， 最多有两个零点； EMBED Equation.KSEE3 ， ，且函数 在 上的图象不间断， EMBED Equation.KSEE3 在 上存在零点．当 时， ，故 在 上是单调增函数，所以 在 上只有一个零点． （先证明 在 是成立的，这里留给同学们自己证明） EMBED Equation.KSEE3 ， 又 ，且函数 在 上的图象连续不间断，所以 在 上存在零点．又 在 上是单调减函数，所以 在 上有且只有一个零点．学%科网 综上所述：当 或 时， 的零点个数为 ，当 时， 的