专题09 数列中的恒成立、存在性问题-突破江苏高考数学一卷140必备专题

数列是江苏高考的压轴题，难度比较大，综合性很强，恒成立与存在性问题经常会与不等式、导数等结合，运用推理论证，分类讨论，转化化归等重要的数学思想，以等差等比数列为基本模型，考察学生的综合能力。 例1、（2015江苏高考20）设 是各项为正数且公差 的等差数列． （1）证明： 依次构成等比数列； （2）是否存在 ，使得 依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在 及正整数 ，使得 依次构成等比数列？并说明理由．　 分析：（1）只需根据等比数列定义说明后项与前项的比值是一个常数 （2）假设存在，令 ， ，将等式转化为关于 的方程有解的问题，可以借助于导数研究函数单调性去寻找零点。学科&网 （3）与第二问解法类似，同样转化为关于 的方程有解的问题，运用多次求导判断单调性进一步说明有无零点 （2）令 ，则 ， ， ， 分别为 ， ， ， （ ， ， ）． 假设存在 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列， 则 ，且 ． 令 ，则 ，且 （ ， ）， 化简得 （ ），且 ．将 代入（ ）式， ，则 ． 显然 不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列． （3）假设存在 ， 及正整数 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列， 则 ，且 ． 分别在两个等式的两边同除以 及 ，并令 （ ， ）， 则 ，且 ． 将上述两个等式两边取对数，得 ， 且 ． 化简得 ， 且 ． 再将这两式相除，化简得 （ ）． 令 ， 则 ． 令 ， 则 ． 令 ，则 ． 令 ，则 ． 由 ， ， 知 ， ， ， 在 和 上均单调． 故 只有唯一零点 ，即方程（ ）只有唯一解 ，故假设不成立． 所以不存在 ， 及正整数 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列． 例2、（2018江苏高考数学20）设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项为 ，公比为 的等比数列． （1）设 ，若 对 均成立，求 的取值范围； （2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均成立，并求 的取值范围（用 表示）．学科.网 分析：（1）只需将 分别代入解四个关于 的不等式取交集即可 （2）恒成立问题转化为最值问题，用导数研究函数的单调性，而数列是函数上的点集，根据函数的单调性就能确定最值。数列也可以用后项减前项去与零比较判定单调性，同学们也可以去尝试 （2）由题意： ， 假设