专题10 数列中的递推问题-突破江苏高考数学一卷140必备专题

谈到求数列通项公式同学们都不陌生，我们学过的方法有累加法、累乘法、运用 等，其中 就是一个简单的递推，运用递推求数列通项公式其实就是不停的令 或 等得到新的关系式，再对得到的式子进行加减乘除运算，最后证明到数列 是个特殊的数列，运用此方法的难点就在于如何寻找新的关系式以及如何处理原有的和新的关系式，通过何种运算达到最终的目的，易错点在于每一次递推都要注意下标 的范围，往往最后得到的式子也不能完全说明 是等差或等比，因为递推中 的范围使得 是从某一项开始呈现等差或等比的性质，最终还要验证前面几项，下面我们通过实例来看看如何处理这样的试题。 例1、（2011江苏高考20）设 为部分正整数组成的集合，数列 的首项 ，前n项和为 ，已知对任意整数 属于 ，当 时， 都成立。 （1）设 ， ，求 的值； （2）设 ，求数列 的通项公式。 解：（1）因为 ，所以 则 ① ② 由 ①-②得 所以当 时，数列 为等差数列 而 ， （2） 因为 ，所以 或 则 ③ ⑤ ④ ⑥ 由④-③得 ⑦ 由⑦得 ⑧ 由⑤-③得 ⑨ 由⑥-④得 ⑩ 由⑨可知 成等差数列，设公差为 由⑩可知 成等差数列，设公差为 所以 ， 两式相减得 * 由 ⑧-⑦可得 ** 由* **可得 所以当 时，数列 为等差数列，设公差为 由③得 ，化简得 由④得 ，化简得 所以 又 ，所以数列 是首项为 ,公差为 的等差数列 所以 例2、 （2017江苏高考19） 对于给定的正整数 ,若数列 满足 对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”.学科%网 （1）证明：等差数列 是“ 数列”； （2）若数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，证明： 是等差数列. （2）数列 既是“ 数列”，又是“ 数列，所以 当 时， ① 当 时， ② 由①可知， ③ ④ ③+④得 ⑤ 由 ⑤-②得 所以当 时， 是等差数列，设其公差为 . 在①中，取 ，则 ，化简得 在①中，取 ，则 ，化简得 所以数列 是等差数列. 注：在数列递推时一定要注意下标 的范围，最容易出现错误的是得到 就错误的下结论 是等差数。学科#网 例3、（2018苏北四市高三一模20）已知数列 ，其前 项和为 ，满足 ， ，其中 ， ， （1）若 ， ， （ ），求证：数