2019版高考数学（理科）精选课件全国卷1地区通用版：第九章 直线和圆的方程 (共2份打包)

§9.1　直线方程与圆的方程 高考理数 ( 课标专用) 1 考点一　直线方程 (2015课标Ⅰ,20,12分,0.308)在直角坐标系xOy中,曲线C:y= 与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两 点. (1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 解析　(1)由题设可得M(2 ,a),N(-2 ,a)或M(-2 ,a),N(2 ,a). 又y'= ,故y= 在x=2 处的导数值为 ,C在点(2 ,a)处的切线方程为y-a= (x-2 ),即  x-y-a=0. y= 在x=-2 处的导数值为- ,C在点(-2 ,a)处的切线方程为y-a=- (x+2 ),即 x+y+ a=0. 故所求切线方程为 x-y-a=0和 x+y+a=0. (5分) (2)存在符合题意的点,证明如下: 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2. 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而k1+k2= + = = . 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P (0,-a)符合题意. (12分) 疑难突破　要使∠OPM=∠OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数. 考点二　圆的方程 1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= (　　) A.- 　    B.- 　    C. 　    D.2 答案    A　圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为  =1,解得a=- .故选A. 思路分析　将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出 关于a的方程,解方程即可求得a的值. 2.(2015课标Ⅰ,14,5分,0.534)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上, 则该圆的标准方程为　　　    . 答案     +y2=  解析　由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分 线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x= ,所以圆心坐标为 ,则半径r=4- = .故该圆的标准方程 为 +y2= . 思路分析　由已知条件和椭圆的方程分析出圆所经过的顶点的坐标,然后求出圆心坐标,进一 步求出圆的半径,从而得到圆的标准方程. 解题关键　利用圆的几何性质求出圆心坐标是解题的关键. 3.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两 点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解析　(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0), 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2= .所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= . 由题设知 =8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得 或  因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 方法总结　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重 利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解. 4.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程. 解析　本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由 可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4. 又x1= ,x2= ,故x1x2= =4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 · = =-1,所以OA⊥OB. 故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r= . 由于圆M过点P(4,-2),因此  · =