2019版高考数学（理科）精选课件全国卷1地区通用版：第十章 圆锥曲线 (共4份打包)

§10.1　椭圆及其性质 高考理数 ( 课标专用) 1 考点一　椭圆的定义和标准方程 1.(2014课标Ⅰ,20,12分,0.433)已知点A(0,-2),椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆E 的右焦点,直线AF的斜率为 ,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程. A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 解析　(1)设F(c,0),由条件知, = ,得c= . 又 = ,所以a=2,b2=a2-c2=1. 故E的方程为 +y2=1. (2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将y=kx-2代入 +y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 当Δ=16(4k2-3)>0,即k2> 时,x1,2= . 从而|PQ|= |x1-x2|= . 又点O到直线PQ的距离d= , 所以△OPQ的面积 S△OPQ= d·|PQ|= . 设 =t,则t>0,S△OPQ= = . 因为t+ ≥4,当且仅当t=2,即k=± 时等号成立,且满足Δ>0, 所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y= x-2或y=- x-2. 思路分析　(1)通过直线AF的斜率求得c的值,通过离心率求得a,进而求出b2,从而得到E的方程; (2)设出直线l的方程和点P、Q的坐标,联立直线l与椭圆方程,利用弦长公式求得|PQ|的长,根据 点到直线的距离公式求得△OPQ边PQ上的高,从而表示出△OPQ的面积,利用换元法和基本 不等式即可得到当面积取得最大值时k的值,从而得直线l的方程. 解题关键　对于第(2)问,正确选择参数,表示出△OPQ的面积,进而巧妙利用换元法分析最值 是解题的关键. 2.(2014课标Ⅱ,20,12分,0.185)设F1,F2分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点 且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 解析　(1)根据c= 及题设知M ,2b2=3ac. 将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得 = 或 =-2(舍去). 故C的离心率为 . (2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中 点,故 =4,即b2=4a. ① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y1<0, 则 即  代入C的方程,得 + =1. ② 将①及c= 代入②得 + =1. 解得a=7,故b2=4a=28,故a=7,b=2 . 考点二　椭圆的几何性质 1.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P 在过A且斜率为 的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为 (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D.  答案    D　本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线AP的方程为y= (x+a),① 直线PF2的方程为y= (x-c).② 联立①②得y= (a+c), 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH= (a+c).   因为∠PF2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH= (a+c), 所以sin 60°= = = , 即a+c=5c,即a=4c, 所以e= = .故选D. 解题关键　通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键. 2.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为 直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D.  答案    A　本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系. 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切, ∴ =a,即2b= , ∴a2=3b2,∵a2=b2+c2, ∴ = ,∴e= = . 方法技巧　椭圆离心率的求法: (1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e= 求解. (2)方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的 范围取舍方程的解. 3.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的 左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线 BM经过OE