人教版七年级数学下册培优新帮手：专题12 数余的扩充

12 数余的扩充 ———实数的概念与性质 阅读与思考 人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张. 理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意： 1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数 的形式（这里 ， 是互质的整数，且 ≠0）； 2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等； 3. 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数； 4．明确无理数的真实性. 克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.” 想一想： 下列说法是否正确？ ①带根号的数是无理数； ②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数； ③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数； ④一个无理数的平方一定是有理数. 例题与求解 【例1】 已知 ．则 的平方根是________. （湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题） 解题思路：运用式子的非负性，求出 ， ， 的值． 【例2】若 ， 是实数，且 ．则 的值是( ). A．3或－3 B．3或－1 C．－3或－1 D．3或1 （湖北省黄冈市竞赛试题） 解题思路：由算术根的双非负性，可得 ≥0， ≥0，求出 ＝1．代入原式中可得 ＝±2． 由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性： ① 中 ≥0； ② ≥0. 运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法. 【例3】 已知实数 ， ， 满足等式 EMBED Equation.3 ，求 的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：观察发现 ， 互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点． [来源:学科网][来源:Zxx