人教版七年级数学下册培优新帮手：专题18 简单的不定方程、方程组

18 简单的不定方程、方程组 阅读与思考 如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)． 对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解． 解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路． 例题与求解 【例1】满足 (0＜ ＜ ＜1 998)的整数对( ， )共有_______对．[来源:学。科。网Z。X。X。K] (全国初中数学联赛试题) 解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答． 【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )． A．20张 B．15张 C．10张 D．5张 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为 ， ， 张．根据题意列方程组，整体求出的 － 值． 【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码． (湖北省武汉市竞赛试题) 解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手． 【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?[来源:学,科,网] (重庆市竞赛试题) 解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解． 【例5】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每