人教版七年级数学下册培优新帮手：专题06 有理数的计算

专题06 有理数的计算 阅读与思考 在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算． 　　数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有： 1．利用运算律． 2．以符代数．[来源:学.科.网Z.X.X.K] 3．裂项相消． 4．分解相约． 5．巧用公式等． 例题与求解 【例1】 已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则 的值等于______________． （湖北省黄冈市竞赛试题） 解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算． 【例2】 已知整数 满足 ，且 ，那么 等于（ ） A． 0 B． 10 C．2 D．12 （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式． 【例3】 计算： （1） （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2） ； （江苏省泰州市奥校竞赛试题） （3） ． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．[来源:学#科#网Z#X#X#K] 【例4】 都是正整数，并且 ， ． (1)证明： ， ； (2)若 ，求 和 的值． （“华罗庚金杯”少年邀请赛试题） 解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解． 【例5】 在数学活动中，小明为了求 的值（结果用 表示），设计了如图①，所示的几何图形． （1）请你用这个几何图形求 的值． （2）请你用图②，在设计一个能求 的值的几何图形． （辽宁省大连市中考试题） 解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关