人教版七年级数学下册培优新帮手：专题01 质数那些事

01 质数那些事 阅读与思考 一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类： 关于质数、合数有下列重要性质： 1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数． 3．若质数 | ，则必有 | 或 | ． 4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成 个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)： N= ，其中 ， 为质数， 为非负数( =1，2，3，…， )． 正整数N的正约数的个数为(1＋ )(1＋ )…(1＋ )，所有正约数的和为(1＋ ＋…＋ )(1＋ ＋…＋ )…(1＋ ＋…＋ )． 例题与求解 【例1】已知三个质数 ， ， 满足 ＋ ＋ ＋ =99，那么 的值等于_________________． (江苏省竞赛试题) 解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出 ， ， 的值． 【例2】若 为质数， ＋5仍为质数，则 ＋7为( ) A．质数 B．可为质数，也可为合数 C．合数 D．既不是质数，也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想． [来源:Zxxk.Com] [来源:学科网ZXXK] 【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数． (上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论． [来源:学科网] 【例4】⑴ 将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数 ，求证： 一定是合数． ⑵ 若 是大于2的正整数，求证： －1与 ＋1中至多有一个质数． ⑶ 求360的所有正约数的倒数和．