人教版七年级数学下册培优新帮手：专题02 数的整除性

02 数的整除性 阅读与思考 设 ， 是整数， ≠0，如果一个整数 使得等式 = 成立，那么称 能被 整除，或称 整除 ，记作 | ，又称 为 的约数， 而 称为 的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1．数的整除性常见特征： ①若整数 的个位数是偶数，则2| ； ②若整数 的个位数是0或5，则5| ； ③若整数 的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3| (或9| )； ④若整数 的末二位数是4(或25)的倍数，则4| (或25| )； ⑤若整数 的末三位数是8(或125)的倍数，则8| (或125| )； ⑥若整数 的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11| ． 2．整除的基本性质 设 ， ， 都是整数，有： ①若 | ， | ，则 | ； ②若 | ， | ，则 |( ± )； ③若 | ， | ，则[ ， ]| ； ④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ； ⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ． 例题与求解 【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数 能同时被2和3整除，则 能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求． [来源:学。科。网Z。X。X。K] 【例2】已知 ， 是正整数( ＞ )，对于以下两个结论： ①在 ＋ ， ， － 这三个数中必有2的倍数； ②在 ＋ ， ， － 这三个数中必有3的倍数．其中 ( )[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:Z。xx。k.Com] A．只有①正确 B．只有②正确 C．①，②都正确 D．①，②都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明． [来源:Zxxk.Com] 【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值． (江苏省竞赛试题) 解题思