人教版七年级数学下册培优新帮手：专题03 从算术到代数

03 从算术到代数 阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点： 1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义. 例题与求解 【例1】研究下列算式，你会发现什么规律： 1×3＋1＝4＝22 2×4＋1＝9＝32 3×5＋1＝16＝42[来源:学科网] 4×6＋1＝25＝52 … 请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________ (山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示. 【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ） A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题） 解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋ …＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手. 【例3】设A＝ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ＋…＋ ＋ ，求A的整数部分. （北京市竞赛试题） 解题思路：从分析A中第n项 的特征入手. 【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形. (1)用含n的代数式表示m； (2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值. （浙江省竞赛试题） 解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式. 【例5】 化简 . （江苏省竞赛试题） 解题思路：先考察n＝1