青岛版数学八年级上册专题突破讲练：三角形的内外角关系

年 级 八年级 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 三角形的内外角关系 编稿老师 董志臣 一校 吕丽娟 二校 黄楠 审核 郭莹 一、三角形的内角和定理 1. 定理：三角形的内角和是180° 要点：① 定理的证明根据是平行线的性质。 ② 定理的证明方法有多种，选取以下两种方法加以掌握。 证明方法 把三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ//BC，这样就相当于把∠B移到了∠1的位置，把∠C移到了∠2的位置。 延长BC到D，过点C作射线CE//BA，这样就相当于把∠Ａ移到了∠1的位置，把∠Ｂ移到了∠2的位置。 2. 推论：①直角三角形的两个锐角互余。 ∵∠A＋∠B＋∠C＝180° 又∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝90° ∴∠A与∠B互余。 ② 等边三角形的每一个内角都是60°。 ∵∠D＋∠E＋∠F＝180°，又∠D=∠E=∠F，∴3∠D＝180°，∴∠D=∠E=∠F=60° 定理的应用： ① 在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角。 如：在△ABC中，∠C＝180°－（∠A＋∠B） ② 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角。 如：在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则可设∠A、∠B、∠C为2x、3x、4x，利用方程求得度数。 二、三角形的外角 1. 外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如∠ACD与∠BCE均为外角。 2. 三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 （2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 提示：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角。通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角。因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的外角和是360°。 三、三角形的外角与内角的关系 1. 三角形的一个外角与它相邻的内角互补，如图：∠1与∠4是邻补角，即∠1＋∠4＝180º； 2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，如图：∠1＝∠2＋∠3； 3. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，如图：∠1>∠2，∠1>∠3。 【拓展】 两种图形的认识 （1）对顶三角形：有一个角是对顶