青岛版数学八年级上册专题突破讲练：解密最短距离之建桥选址

初中数学 解密最短距离之建桥选址 编稿老师 刘群丽 一校 林卉 二校 安宁 审核 杨国勇 一、解题依据 1. 两点间线段最短。 2. 三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形任何两边的和大于第三边； （2）三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边。 3. 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 二、基本模型 定点在两侧的动线段问题（建桥问题） 如图所示，A、B两村庄位于一条河的两岸。假定河的两岸笔直且平行。问：应把桥建在什么位置，才能使由A村经过这座桥到B村的路程最短？ 答案：如右下图。 说明：这种问题首先要把桥的长度平移出来（作 ），连接 ， 两点交河流两岸两个点，此时一定要在C处建桥，才能得到最短路程。（即：平行四边形要在 的同侧。） 例题1 如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ。桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） 解析：按照垂直河流的方向，先把两桥的长度移至端点，把可变化的路径连接到一起，利用两点间线段最短就可以确定两桥的位置。 答案：如图。 或或 点拨：本题的关键还是在于两点之间线段最短，要注意找到线段与河的交点后，选择正确的建桥位置。 总结技巧 建桥选址问题最少由三条线段组成，其中桥的长度是固定不变的，而且桥在整个路径的中间，另外两条线段不固定，所以我们要先把桥的长度平移出来，利用平行四边形的性质，使变化的线段连接在一起，然后利用两点间线段最短或三角形三边关系确定桥的位置。 例题 如图，荆州古城河在 处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥： ， （桥宽不计），设护城河以及两桥都是东西、南北方向的，A，B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使 的路程最短，这个最短路程是多少米？ 解析：先分别从A、B两点把两条桥的长平移出来，把平移后的两个点连接，就可以确定桥的位置。 答案：解：作AF⊥CD，且AF＝河宽， 作BG⊥CE，且BG＝河宽， 连接GF，与河岸相交于 ， 作 即为桥。 解：由作图法可知，AF∥ ， ， 则四边形 为平行四边形， 于是 ， 同理， ， 由两点之间线段最短可知，GF最小； 即当桥建于如图所示位置时， 最短， 距离为 米。 点拨：解这种问题都