沪教版（五四制）六年级上册 1.1 数与整除 讲义（无答案）

数与整除

【知识点梳理】

一 整数和自然数的概念

1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4…，叫做正整数。

2．在正整数1、2、3、4…的前面添上“－”号，得到的数－1、－2、－3、－4…，叫做负整数。

3．零和正整数统称为自然数。

4. 正整数、零和负整数，统称为整数。

二 偶数与奇数

如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。

 如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。

奇、偶数经过运算后的变化情况：奇奇=偶    偶偶=偶    奇偶=奇

奇奇=奇     偶偶=偶    奇偶=偶

注：相邻两个整数之和（之差）为奇数，之积为偶数。

三 能被2、3、5整除的数的特征：

能被“2”整除的数的特征：个位数字是偶数,即各位数字是0、2、4、6、8的整数

能被“5”整除的数的特征：个位数字是“5”或“0”

能被“2、5”整除的数的特征：个位数字是“0”

能被“3”整除的数的特征：各位数字之和能被“3”整除.

四 素数、合数的概念：我们把只含有因数1和本身的整数叫做素数（质数），如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

1、1既不是素数也不是合数；这样，正整数又可以分为1、素数、合数三类。（依据：因数的个数） 

2、关于素数：

（1）素数有无限多个；                              （2）最小的素数是2；

（3）在素数中只有2是偶数，其余的素数全是奇数；    （4）每一素数只有两个约数：1和它本身。

3、关于合数：

（1）合数有无限多个；           （2）最小的合数是4；

（3）每个合数至少有三个约数：1和它本身和其他某个约数。

五：分解素因数

每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数；把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫分解素因数。    注意：分解素因数一定要分到都是素数为止

 用短除法分解素因数的步骤如下： 

  1、先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除 

  2、得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。 

  3、然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。 

互素 ：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．

易错点：互素的两个数不一定都是素数，如7与8 ，9与10

 

规律：两个整数中，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1 ；

如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；

如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数。

      

六：  整除：

整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。注意整除的条件：  1、除数、被除数都是整数      2、被除数除以除数，商是整数而余数为零

除尽：对于被除数和除数无限制，只要没有余数就好

七：因数与倍数的概念

整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数.

求一个数的因数和倍数

因数

1．一个数的因数是有限的；

2．最小的因数是1，最大的因数是它本身；

3．一个数的因数通常是成对出现的。

倍数

1．一个数的倍数的个数是无限的；

2．最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数

如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素

规律：1.两个整数中，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1 ；

2.如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；

3.如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数

公倍数和最小公倍数：

几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.   

八：公因数和公倍数概念

公因数、最大公因数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

一般地，我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1, 则a,b两个数是互素数。

公倍数、最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

 

最小公倍数是两个数的最大公约数 与 各自独有素因数的乘积