山东省烟台市2018年黑白卷数学优质大题【PDF版】

书书书 数　学 １．如图，ＡＣ是⊙Ｏ的直径，点Ｂ、Ｄ是直径ＡＣ两侧 圆上的点，且ＡＢ＝ＢＤ，连接ＤＣ，过点Ｂ作ＢＥ⊥ ＤＣ的延长线于点Ｅ． （１）猜想直线 ＢＥ与⊙Ｏ的位置关系，并说明理 由； （２）若ＣＥ＝２，ＡＯ＝５，求ｓｉｎ∠ＢＤＣ的值． 第１题图 【思维教练】（１）要求ＢＥ与⊙Ｏ的位置关系，观 察题图可知直线ＢＥ与⊙Ｏ只有一个交点Ｂ，故 可猜想 ＢＥ与⊙Ｏ相切，从而连接 ＯＢ，证明 ＯＢ⊥ＢＥ即可，而 ＢＥ⊥ＣＤ，故只需证明 ＣＤ∥ ＯＢ，结合已知条件及圆周角定理可得∠ＢＤＣ＝ ∠ＤＢＯ，结论得证；（２）要求 ｓｉｎ∠ＢＤＣ的值，由 题图可知，∠ＢＤＣ与∠ＢＡＣ是同弧所对的圆周 角，进而转化为求ｓｉｎＡ的值，而∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ 的长已知，故只需求ＢＣ的值即可，ＢＣ的值可通 过证明Ｒｔ△ＢＥＣ∽Ｒｔ△ＡＢＣ求得． 解：（１）直线ＢＥ与⊙Ｏ相切． 理由如下：如解图，连接ＢＯ、ＯＤ， 第１题解图 ∵ＢＯ＝ＢＯ，ＯＤ＝ＯＡ，ＢＤ＝ ＢＡ， ∴△ＢＯＤ≌△ＢＯＡ（ＳＳＳ）， ∴∠ＤＢＯ＝∠ＡＢＯ， ∵ＢＯ＝ＯＡ， ∴∠ＯＢＡ＝∠ＯＡＢ， ∵∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＯ， ∴ＢＯ∥ＣＤ， ∵ＢＥ⊥ＣＤ，∴ＢＯ⊥ＢＥ， ∵ＢＯ为⊙Ｏ的半径， ∴ＢＥ是⊙Ｏ的切线； （２）由（１）得ＢＥ与⊙Ｏ相切， ∴∠ＥＢＣ＝∠ＢＡＣ， 又∵ＢＥ⊥ＤＣ，ＡＣ为⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＣ＝９０°， ∴Ｒｔ△ＢＥＣ∽Ｒｔ△ＡＢＣ， ∴ＢＣＡＣ＝ ＣＥ ＢＣ， ∴ＢＣ２＝ＣＥ·ＡＣ＝２×１０＝２０， ∴ＢＣ 槡＝２５． ∵∠Ａ＝∠ＢＤＣ， ∴ｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＣ＝ 槡２５ １０＝ 槡５ ５． ２．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝４５°， ＢＣ＝１２ｃｍ，半圆Ｏ的直径ＤＥ＝１２ｃｍ，点Ｅ与 点Ｃ重合，半圆Ｏ以２ｃｍ／ｓ的速度从左向右运 动，在运动过程中，点Ｄ、Ｅ始终在ＢＣ所在的直 线上．设运动时间为 ｘ（ｓ），半圆 Ｏ与△ＡＢＣ的 重叠部分的面积为Ｓ（ｃｍ２）． 第２题图 （１）当ｘ＝０时，设点Ｍ是半圆 Ｏ上一点，点 Ｎ是线段 ＡＢ上 一点，则 ＭＮ 的 最 大 值 为 ；ＭＮ的最小值为 ； （２）在平移过程中，当点 Ｏ与 ＢＣ的中点重合 时，求半圆Ｏ与△ＡＢＣ的重叠部分的面积Ｓ； （３）当 ｘ为何值时，半圆 Ｏ与△ＡＢＣ的边所在 的直线