河南省郑州市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题（PDF版）

1 2017—2018学年下期中考 19届 高二理科数学答案 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B A B A C B C D B D 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）． 13．0 14．f(n)＝n3 15．（选修 4-4） 2 2 1 4 x y  ；（选修 4-5） 1 8 16．  0 +， 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解：（1）   iiii i z z    1211 1 22 22 6分 （2）将 yixz  代入 i iizzz    2 3)(2 ，得 ixiyx  1222 8分       12 122 x yx ，         2 3 2 1 y x . 12分 18. 解： 1 31 12 0 13 3 x x dx x x dx               4分 = 3 2 22 1 32 1 1 2 12 0 13 3 2 3 2 x x x x         （ ） 8分 = 2 1 4 13+ + = 3 6 3 6 12分 19. 解：(1)当 1n  时，     2 3 11 1, 1 1 2 2 1 f g     ，所以    1 1 ;f g 当 2n  时，    3 2 1 9 3 1 112 1 , 2 2 8 2 2 2 8 f g       ，所以    2 2f g ； 2 当 3n  时，    3 3 2 1 1 251 3 1 133 1 , 3 2 3 216 2 2 3 9 f g        ，所以    3 3f g 4分 （2）由(1)猜想    f n g n ，下面用数学归纳法给出证明． 5分 ①当 1n  时，不等式显然成立． ②假设当  n k k N   时不等式成立． 即 3 3 3 3 2 1 1 1 1 3 11+ + + + + 2 3 4 2 2k k     6分 那么，当 1n k  时，        3 32 1 3 1 11 , 2 21 1 f k f k kk k         8分 因为        2 3 3 32 2 2 1 1 1 3 1 3 1= 0 2 22 1 1 2 1 2 1 k k k kk k k k k                  ， 所以      2 3 11 1 2 1 f k g k k       10分 由①②可知，对一切 n N ，都有    f n g n 成立． 12分 20．解：（1） 2,2,0)(),2(3)( 21 2  xxxfxxf 得令 ∴当 2 2 ( ) 0; 2 2 , ( ) 0x x f x x f x        或 时, 当 时 ， 2分 ∴ )(xf 的单调递增区间是 ( , 2) ( 2, )  和 ，单调递减区间是 )2,2( 当 245)(,2  有极大值xfx ； 当 245)(,2  有极小值xfx . 4分 可知 )(xfy  图象的大致形状及走向（图略） ∴当 )(,245245 xfyaya  与直线时 的图象有 3个不同交点， 即当5 4 2 5 4 2a    时方程 )(xf 有三解. 7分 3 （2） )1()5)(1()1()( 2  xkxxxxkxf 即 ∵ ),1(5,1 2  在xxkx 上恒成立. 9分 令 5)( 2  xxxg ，由二次函数的性质， ),1()( 在xg 上是增函数， ∴ ,3)1()(  gxg ∴所求 k的取值范围是 3k 12分 21. 解：（1） 1( ) ln 1 lnf x x x k x k x         ， 1分 ① 0k≤ 时，因为 1x  ，所以 ( ) ln 0f x x k    ， 函数 ( )f x 的单调递增区间是 (1, ) ，无单调递减区间，无极值； 3分 ②当 0k  时，令 l