2017-2018学年人教A版高中数学选修4-1课件：1.3相似三角形的判定及性质 (2份打包)

1.相似三角形的判定 1.相似三角形 (1)相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. (2)相似比:相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). (3)表示方法:两个三角形相似,用符号“∽”表示.例如:△ABC与△A'B'C'相似,记为△ABC∽△A'B'C'. 名师点拨理解相似三角形,注意以下几点: (1)两个三角形相似,它们不一定全等;两个三角形全等,它们一定相似. (2)“对应边成比例”是指三角形的三组对应边分别成比例,且比值相同. 【做一做1】 若△ABC∽△A1B1C1,则下列结论正确的是(　　) A.AB=A1B1　　　　　　 B.∠ABC=∠A1B1C1 D.∠BCA=∠B1A1C1 答案:B 2.相似三角形的判定 (1)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.如图①②③所示,在△ABC中,DE∥BC,则△ABC∽△ADE. (2)判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. (3)引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. (4)判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. (5)判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似. 名师点拨1.相似三角形判定定理的作用 (1)判定两个三角形相似; (2)间接证明角相等,线段长成比例; (3)为计算线段的长度及角的大小创造条件. 2.相似三角形判定定理的常用推论 (1)顶角或底角相等的两个等腰三角形相似; (2)腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似; (3)如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似; (4)如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似. 【做一做2】 如图,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB; ③ ;④AC2=AD·AB.其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析: 答案:C 3.直角三角形相似的判定 (1)定理1:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. (2)定理2:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 【做一做3】 在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A'=90°, ∠B=35°,则∠C'=　　　　　.  解析:∵∠A=∠A'=90°, ∴△ABC和△A'B'C'均是直角三角形. ∴△ABC∽△A'B'C'. ∴∠C'=∠C. ∵∠B=35°, ∴∠C=90°-∠B=90°-35°=55°, ∴∠C'=55°. 答案:55° 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)有两边对应成比例及一个角相等的两个三角形相似. (　　) (2)有三边分别对应平行的两个三角形相似. (　　) (3)有两边成比例的两个等腰三角形相似. (　　) (4)有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似. (　　) (5)如果两个直角三角形中有一个内角相等,那么它们一定相似. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 三角形相似的定义 【例1】 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是∠B的平分线.试证明:AD2=DC·AC. 分析:顶角是36°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD是底角的平分线,所以∠CBD=36°,则可推出△ABC∽△BCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系. 证明:∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°. 又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°. ∴AD=BD=BC,且△ABC∽△BCD. ∴BC∶AB=CD∶BC. ∴BC2=AB·CD.又AD=BC,AB=AC, ∴AD2=CD·AC. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟根据三角形相似的定义,可由三角形相似得到成比例的线段,从而可推出线段长度之积相等.在推理过程中,要注意对应边、对应角,避免出现不对应的情况. 探究一