湘教版九年级数学下册学案：2.3 垂径定理

                                                   

垂径定理

教学目标：

（1）探索并理解垂径定理

（2）熟练掌握垂径定理及其逆定理

 

重点：垂径定理及其运用．

难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

知识点：

     （1）垂径定理：xxxxxxxxxxx

      （2）垂径定理的逆定理：xxxxxxxxxxx

     

授课方式：讲授法  演示法

教学过程：

一、导入: 复习上节课内容:包括圆的概念以及与圆相关的概念

请同学口答下面问题（提问一、两个同学）

 

二、授课：

     （实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

结论：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

 

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

 

 

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．

 

 

 

 

（老师点评）

（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

    （2）AM=BM，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD，即直径CD平分弦AB，并且平分弧ACB和弧ADB．

    这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

   

 

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

    已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M

    求证：AM=BM，，.

    分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．

证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB

在Rt△OAM和Rt△OBM中

    ∴Rt△OAM≌Rt△OBM

    ∴AM=BM

    ∴点A和点B关于CD对称

    ∵⊙O关于直径CD对称

    ∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．

    ∴，

 

 

三、证明垂径定理的逆定理

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

已知：直径CD、弦AB（除直径） 且 AM=BM 

求证：（1）CD⊥AB

（2），

 

 

 

 

四、 例题讲解

1、如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2cm，OC=1cm，则⊙O的半径长为______cm．