2.3 垂径定理课件2024-2025学年 湘教版九年级数学下册

2.3 垂 径 定 理 湘教版九年级下 第2章 圆 问题引入 问题1 圆是轴对称图形吗？ 问题2 它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆是轴对称图形 圆的对称轴是直径所在的直线（或过圆心的直线），圆的对称轴有无数条。 探究新知 观察和思考 （1）AB、CD是⊙O的两条直径， 与 , 与 分别相等吗？如图（一） （2）当AB向下平移，变成非直径的弦时，上面的结论还成立吗？如图（二） 探究新知 猜想和验证 （3）当AB⊥CD时，如图三，你认为有相等的线段和相等的弧吗？说说你的猜想。 （4）借助桌上的圆形纸片，动手试一试，如何折叠出这个图形？能否验证你的猜想？ 探究新知 证明结论 已知在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。 求证：AE=BE, . 探究新知 归纳定理 条件 结论 CD为直径 CD⊥AB AE=BE 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。 几何语言： ∵CD是直径，CD⊥AB ∴AE=BE， ， 探究新知 理解定理 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 探究新知 理解定理 垂径定理的几个基本图形 应用举例 例 如图，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求的⊙O直径CD的长。 解 连接OA 设OA=rcm，则OE=（r-2）cm ∵CD⊥AB 由垂径定理得 在Rt△AEO中，由勾股定理得 解得 r=5 ∴CD=2r=10cm 方法归纳： 1、连半径（常见辅助线） 2、垂径定理常和勾股定理结合使用，运用方程的思想解决问题。 3、弦、半径、弦心距、拱高4个量中知二得二。 探究新知 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ； ②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 新知探究 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点E，且E是AB的中点. 求证：AB⊥CD， 证明：连接OA，OB。则OA=OB ∴△OAB为等腰三角形 ∵E是AB的中点 ∴OE⊥AB即CD⊥AB ∵CD是直径 新知探究 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 满足其中任两条，必定同时满足另三条. 新知探究 应用举例 例 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 已知：如图，在中，弦AB与弦CD平行。 求证： E F 证明：作直径EF⊥AB 又∵AB∥CD，EF⊥AB ∴EF⊥CD 当堂检测 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。 4.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为 . 5.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为　　. 6. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______． 7.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 . 课堂小结 垂径定理 内容：垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分这条弦所对的两条弧. 推论：一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 辅助线： 两条辅助线：连半径，作弦心距 基本图形及变式图形：构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程. $$