北师大版九年级数学下册课件：3.3垂径定理 (共17张PPT)

3.3垂径定理 经历探索并证明垂径定理及其逆定理的过程，发展推理能力. 如右图所示，“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为☉O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为多少? 【问题】　 当弦AB⊥CD时,你能得出哪些相等的线段?相等的弧?相等的角? 垂径定理 【做一做】如右图所示，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. 问题1 此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 这个图是轴对称图形,对称轴是直径CD所在的直线. 问题2 你发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由. 将这个图沿着直径CD折叠,发现AM与BM重合,∠CMA与∠CMB重合, ∠DMA与∠DMB重合, 重合, 重合,所以等量关系有AM=BM, ∠CMA=∠CMB=90°,∠DMA=∠DMB=90°, , . 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的注意事项: (1)条件中的“弦”可以是直径; (2)结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧. 符号语言: ∵CD是圆的直径,CD⊥AB于M,∴AM=BM, 如右图所示,已知AB是☉O的一条弦,CD是☉O的一条直径,并且CD⊥AB,垂足为M.求证AM=BM, 垂径定理的证明 证明:连接OA，OB，则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC. ∵∠AOD=180°－∠AOC， ∠BOD=180°－∠BOC， ∴∠AOD=∠BOD. 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 【解析】定理中两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！ · · · · 垂径定理的逆定理 如右图所示，AB是☉O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由. AM=BM， OM=OM， OA=OB, △OAM≌△OBM. ∴∠AOC=∠BOC