2018年3月清华大学第四次中学生标准学术能力诊断性测试理科数学PDF

中学生标准学术能力诊断性测试 数学（理科）科目参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D A C B A C B C D A 二.填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分。 13. 2 14.       3, 29 69 15. 3 1 16. 2 3 三、解答题（共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题 12分） 解： ( ) 1f x m n   ur r ． …………………………4分 ∵ R，由 3 2 2 2 2 6 2 k x k          得 2 6 3 k x k        ……… 6分 ∴函数 的单调减区间 2 , 6 3 k k            k Z . ………………6分 （2）∵ ，即 ，∵角 为锐角，得 ， ……8分 又 ，∴ ，∴ ……10分 ∵ 6 2AB   ， 由正弦定理得 sin ( 6 2)( 6 2) 2 sin 2 AB A BC C      ……… 12分 18.（本小题 12分） 解：（1） 因为 AB AC ， D 是BC 的中点，所以BC AD ， 因为 MN BC‖ ，所以MN AD ， ………………2 分 因为 1AA ABC平面 ，MN ABC平面 ， 1cossin32cos2 2  xxx xx 2sin32cos  ) 6 2sin(2   x x  f x 2)( Af 2) 6 2sin(2   A A 6  A 4  B  12 7 C 4 26 ) 34 sin( 12 7 sinsin    C 所以 1AA MN ， 因为 1 1 1,AD AA ADD A平面 ，且 1AD AA AI ， …………4 分 所以 1 1MN ADD A平面 ． ……………………5 分 （2） 方法一： 设 1 1AA  ， 如图：过 1A 作 1 BCAE‖ ，建立以 1A 为坐标原点, 1 1 1 1, ,A E A D A A分别 为 , ,x y z轴的空间直角坐标系． 则 1 0 0 0A（ ，，）, (0,0,1)A , ( 3,1,1)B , ( 3,1,1)C  ………………6 分 因为 F 是 AD的中点，MN BC‖ ， 所以 ,M N 分别为 AB ， AC 的 中点，则 3 1 2 2 M（ ，，1）， 3 1 2 2 N（- ，，1）， 则 1 3 1 2 2 A M uuuur =（ ，，1）， 1 (0,0,1)A A  uuur ， 3NM uuuur =（ ，0，0），………………7 分 设平面 1AA M 的法向量为 ( , , )m x y z ur ， 则 得 令 1x  ，则 3y   ，则 (1, 3,0)m   ur ，……………………………9 分 同理设平面 1A MN 的法向量为 ( , , )n a b c r ， 则 得 令 2b  ，则c 1  ，则 (0,2, 1)n   r ， 则 15 cos , 5 m n m n m n      ur r ur r ur r ，………………………………11 分 因为二面角 1A A M N  是锐二面角， 所以二面角 1A A M N  的余弦值是 15 5 ． ………………………………12 分 方法二：连接 1A F ,过点 A作 1AE A F 于点 E ，过 E 作 1EH A M 由（1）知， NM AE , 又 1AE A FQ , 1A F NM F  , 1AE A NM 面 ， 1AE A M  1 1, ,A M EH A M AE EH AE E   Q , 1A M AHE 面 , 1AH A M  ……………………8 分 故 AHE 是二面角 1A A M N  的平面角 ……………………9 分 设 1 1AA 