[中学联盟]江苏省南京市溧水区孔镇中学新高一数学衔接例题讲解：二次根式（无答案）

第十二章 二次根式

 

 

二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。

1.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；  ⑵被开方数中不含分母；  ⑶分母中不含根式。

2.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

3.二次根式的性质：

（1）（）2= （≥0）；              （2）

4.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=·（a≥0，b≥0）；  （b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

 

 

 

专题

【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。

【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。

1、下列各式（

其中是二次根式的是_________（填序号）．

2、使＋有意义的x的取值范围是（　　　）

A．x≥0      B．x≠2       C．x>2     D．x≥0且x≠2．

【知识点2】二次根式的性质：[来源:学科网ZXXK]

（1）二次根式的非负性，的最小值是0；也就是说（）是一个非负数，即。

注：因为二次根式表示a的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如

若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

（2）（） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：

（3）

1、 a、b、c为三角形的三条边，则____________.

2、把(2-x)的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得              .

3、 若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│=                          .

4、  若实数a满足+a=0,则有             

5、已知已知,则             

专题二   二次根式的乘除

【知识点1】二次根式的乘法法则：。将上面的公式逆向运用可得： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

1、化简＝________．

2、下列各式中不成立的是（　　）

Ａ．   Ｂ．

Ｃ．  Ｄ．

 

3、计算                                       

                4、若b>0，x<0，化简：

 

 

 

【知识点2】二次根式的除法：

（1）一般地，对于二次根式的除法规定

【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。分母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。