2017年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析（全套打包）

2009全国高中数学联赛一试试题参考答案 一、填空（本大题共8题，每小题7分，共56分） 1.若函数且，则 ． 【答案】 【解析】，，……，．故． 2.已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为 ． 【答案】 【解析】设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得． 3.在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 ． 【答案】 【解析】由题意知 4.使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 ． 【答案】 【解析】设．显然单调递减，则由的最大值，可得． 5.椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，． 由，在椭圆上，有 ① ② 得． 于是当时，达到最小值． 6．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】当且仅当 ① ② ③ 对③由求根公式得， ④ 或． (ⅰ)当时，由③得，所以，同为负根． 又由④知，所以原方程有一个解． (ⅱ)当时，原方程有一个解．[来源:学科网ZXXK][来源:学_科_网] (ⅲ)当时，由③得， 所以，同为正根，且，不合题意，舍去．综上可得或为所求． 7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 【答案】 【解析】易知： (ⅰ)该数表共有100行； (ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…， (ⅲ)为所求． 设第行的第一个数为，则 =…… 故． 8.某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间（分） 10 30 50 70 90 概率 候车时间的数学期望为 二、解答题（本大题共3个小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.（本小题满分14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】由消去化简整理得 设，，则 ① 由消去化简整理得[来源:学。科。网Z。X。X。K] 设，，则 ② 因为，所以，此时． 由得． 所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条． 10.（本小题满分15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列满足，， (Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）； (Ⅱ)若，，求的前项和． 【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以 ， 整理得 令，则．所以是公比为的等比数列． 数列的首项为：． 所以，即． 所以． ①当时，，，变为．整理得，，．所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．所以． 于是数列的通项公式为； ②当时，， ． 整理得，． 所以，数列成公比为的等比数列，其首项为 ．所以．[来源:学_科_网] 于是数列的通项公式为．[来源:Z|xx|k.Com] (Ⅱ)若，，则，此时．由第(Ⅰ)步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为 以上两式相减，整理得 所以． 方法二： (Ⅰ)由韦达定理知，又，所以，． 特征方程的两个根为，． ①当时，通项由，得 ， 解得．故 ． ②当时，通项．由，得 ， 解得，．故 ． (Ⅱ)同方法一． 11.（本小题满分15分）求函数的最大和最小值． 【解析】函数的定义域为.因为 当时等号成立．故的最小值为． 又由柯西不等式得 所以． 由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为． 12、（本题满分50分）如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于． ⑴求证：； ⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，， 求证：，，，四点共圆． 【解析】⑴连，．由于，，，，共圆，故是等腰梯形．因此，． 连，，则与交于，因为 ，所以．同理． 于是，． 故四边形为平行四边形．因此（同底，等高）． 又，，，四点共圆，故，由三角形面积公式 于是． ⑵因为， 所以，同理．由得． 由⑴所证，，故． 又因，有． 故，从而