八年级数学华师大版下册同步（课件+教案+学案+练习）：19.3正方形 （5份打包）

第19章 矩形、菱形与正方形 19.3正方形 基础导练 1、 选择题 1.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 2.下列说法中，正确的是（　　） A．相等的角一定是对顶角 B．四个角都相等的四边形一定是正方形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．矩形的对角线一定垂直 3.四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 2、 填空题 1.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是　 　（填一个符合题目要求的条件即可）． 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件） 3.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：　　　　　　，使得该菱形为正方形． 三、解答题 1.已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形． 2.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． （1）求证：∠ADB＝∠CDB； （2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形． 参考答案 1、 选择题 1. B 2.C 3.A 2、 填空题 1.AC＝BD且AC⊥BD 2.AC＝BC 3.AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一） 三、解答题 1.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形． 2.（1）证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB． （2）证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，∴PM＝MD，∴四边形MPND是正方形． $$ $$ 19.3正方形 一、正方形的定义 正方形：有一组邻边相等的矩形是正方形. ①、正方形既是邻边相等的特殊矩形，又是有一个角是直角的特殊菱形. ②、正方形既具有矩形的性质有具有菱形的性质. 正方形：有一个角是直角的菱形是正方形. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 １、四条边都相等，对边平行. ２、四个角都是直角. ３、对角线互相垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角. ４、有４条对称轴，是中心对称图形. A B C D O 正方形的判定 判定一：有一个角是直角的菱形是正方形. ∵菱形ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ＝９０ °， ∴四边形ＡＢＣＤ是正方形. A B C D 0 正方形的判定 判定二:有一组邻边相等的矩形是正方形. ∵矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ， ∴四边形ＡＢＣＤ是正方形. A B C D 0 平行四边形、矩形、菱形、正方形的内在联系 平行四边形 有一个角 是直角 矩形 邻边相等 菱形 邻边相等 正方形 有一个角 是直角 有一个角是直角且邻边相等 * 例１、如图，点Ｅ是正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上的一点，点Ｆ是ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ，求证：ＤＥ＝ＢＦ. 证明：在正方形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＤ＝ ∠ ＡＤＥ＝９０ °； ∵ＥＡ⊥ＡＦ， ∴ ∠ ＥＡＦ＝９０ °， ∴ ∠ＦＡＢ＝ ∠ＥＡＤ； ∴ △ＡＢＦ≌ △ＡＥＤ（ＡＳＡ）. ∴ＤＥ＝ＤＦ. 例２、在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗?为什么? 证明： ∵ＡＥ＝ＤＨ， ∴ＢＥ＝ＡＨ； 又∵ＡＥ＝ＢＦ， ∠Ａ＝ ∠Ｂ＝９０ °， ∴ △ＡＥＨ≌ △ＢＦＥ（ＳＡＳ） ∴ＥＨ＝ＥＦ， ∠１＝ ∠２； ∴ ∠２+ ∠３＝ ９０°， 即∠ＨＥＦ＝９０ °； 同理：ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ， ∴四边形ＥＦＧＨ是正方形. １ ２ ３ 例３、AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE， EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FB. 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴