初中数学竞赛辅导：整数的一种分类（含答案）

初中数学竞赛辅导资料 整数的一种分类 甲内容提要 1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数， r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。 即：在整数集合中　　被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数) 例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1　 （∵－1＝5（－1）＋4。　　－9＝5（－2）＋1。） 2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。 例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。 3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如： m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝　（k为整数） m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝. 或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。 m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝ 或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，　　其中5k－2表示除以5余3。 4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。 举例如下：[来源:学科网ZXXK] ①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 　　（余数1＋1＝2） ②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3　　（余数1×3＝3） ③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4　　（余数22＝4） 以上等式可叙述为： 1 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。　 2 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。 3 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是 4或9。 余数的乘方，包括一切正整数次幂。 如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64） 5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。 乙例题 例1. 今天是星期日，99天后是星期几？ 分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数 解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同， 29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同， ∴99天后是星期一。 又解：设｛A｝表示A除以7的余数， ｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛8