初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结

初中数学竞赛专题培训 因式分解 1．双十字相乘法 　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式． 　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 　　可以看作是关于x的二次三项式． 　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 　　即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)． 　　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 　　所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ 　　　　 =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 　　它表示的是下面三个关系式： 　　(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； 　　(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； 　　(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 　　这就是所谓的双十字相乘法． 　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： 　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； 　　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 　　例1 分解因式： 　　(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； 　　(2)x2-y2+5x+3y+4； 　　(3)xy+y2+x-y-2； 　　(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2． 　　解 (1) [来源:Z*xx*k.Com] 　　原式=(x-5y+2)(x+2y-1)． 　　(2) 　　原式=(x+y+1)(x-y+4)． 　　(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解． 　　原式=(y+1)(x+y-2)． 　　(4) 　　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)． 　　说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似． 　　2．求根法 　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+