中考数学复习指导：相似三角形热点题扫描

相似三角形热点题扫描 一、探索与证明 探索与证明题很好体现了对数学问题研究的过程：由特殊到一般按照“提供条件——猜想结论——证明猜想——推广应用”的命题方式呈现。解决这类问题，首先要清楚所给的图形的性质及整个题目变化过程（从宏观上把握），其次是对于常用的证明技巧，添加辅助线等在平常熟练于心。 例1 等腰三角形ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小惠拿着含30°的透明三角板，使30°角的顶点落在点P处，三角板绕点P旋转。 （1）如图1-1，三角板的两边分别与AB、AC交于E、F时，求证：△BPE～△CFP. （2）当三角板绕点P旋转，使三角形的两边分别交于BA的延长线及边AC于E、F点，△BPE与△CFP还相似吗？ （3）连接EF，△BPE与△PEF相似吗？请说明理由。 （4）设EF=m，△PEF的面积为S，试用m的代数式表示S。 解析：（1）证明两三角形相似，首先从“两角”入手，抓住∠B=∠EPF=30°，发现∠1+∠3=150°，∠2+∠3=150°，∴∠1=∠2，又∠B=∠C，∴△BPE～△CFP. （2）BPE与△CFP还相似 （3）如图1-2，明显条件是∠EPF=∠B=30°，无法寻其它等量角由，只有借助PE、PF与BE、BP的比例关系证相似，由（1）△BPE～△CFP得 ,又∵P为BC的中点，即BP=CP∴ ，又∵∠EPF=∠B=30°，∴△BPE～△PFE。 （4）方法一：如图1-3，以PF为底，过点E作EH⊥PF的延长线于H点，由（3）得 ，此时需考虑Rt△PEH的特征，解决高EH的问题，∵∠EPH=30°，∴EH= ,∴S= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = m； 方法二：如图1-4，以PE为底，其高需放在相似知识里解决，过点F、P分别作FM⊥EP,PN⊥BA,由△BPE～△PFE得 (高的比=相似比)。易求NP=2 ,∴ 即MF·PE= ，∴S= 。 [来源:Zxxk.Com] 思维感悟：此题以两个三角形为背景，通过旋转变换，由特殊到一般不断探索、运用相似。考查了相似三角形的判定及性质。其中第（3）、（4）问是难点。证明两三角形相似一般是证两角对应相等，但此题第（3）问却不能运用此法，此时我们应想到“两边对应成比例且夹角相等”来证明，而且还有“P为BC的中点”这个条件还未用