[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第12讲 锐角三角函数

第12讲 锐角三角函数 赛点扫描 锐角三角函数是直角三角形固有的性质.在直角三角形中,锐角一定时,它的对边与邻边的比值、对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值是固定的,我们把这几个固定值定义为相应锐角的三角函数. 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系,解相关问题常用到以下丰富的性质: (1)熟悉30°、45°、60°角的三角函数值 (2)了解同角三角函数、互余三角函数间的关系 平方关系:sin2α+cos2α=1; 商数关系:tanα= ; 倒数关系:tanα·cotα=1. 互余三角函数间关系:若α+β= 90°,则sinα=cosβ,tanα=coβt. (3)把握三角函数的有界性与单调性 有界性:0< sinα≤1,0<cosα≤1. 单调性:正弦(正切)随着锐角度数的增大而增大,余弦(余切)随着锐角度数的增大而减小. 赛题解密 例1.((全国初中数学联赛题)如图12-1所示,在∠ABC=15°,BC=1,则AC= ( ) A. B. C.0.3 D. 【解密】 由15°构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化. 【解】 选B. 作∠BAD=15°,交BC于D,则AD=BD,∠ADC=30° 例2. (2002年北京市竞赛题)如图12 -2所示,菱形ABCD的边长为5,AC、BD相交于点O,AC=6,若∠ABD=α,则下列式子中正确的是 ( ) A. B. C. D. 【解密】 由菱形的性质可得OA= AC=3,又AB=5,由勾股定理可得OB= =4,不难求出α的各三角函数值. 【解】 ∵AB=5,AC=6,则菱形性质知AO⊥BO,OA= AC= ×6=3.由勾股定理可得OB= =4, ∴ ,故选D. 例3. (1993年太原市初中数学竞赛题)已知sinα-cosα= ,0°<α< 180°,则tanα的值为 ( ) A. B. C. D. [来源:学.科.网Z.X.X.K] 【解密】 要求tanα的值,如果能求出sinα、cosα的值,问题就解决了.已知sinα-cosα= ,0°<α< 180°,又有sin2α+cos2α=1,我们运用这2个式子可以求出sinα、cosα的值. 【解】 ∵sinα-cosα= , ∴ (sinα-cosα)2 = , 展开得 1-sinαcosα= 即 2sinαcosα= 故 (sinα+cosα)2 =1+2si