[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第20讲 几何定值

第20讲 几何定值 赛点扫描 所谓几何定值,是指在一定条件下构成的几何图形中,某些几何元素的几何量在变动的图形中保持不变,或几何元素间的某些位置关系或某些几何性质不变. 平面几何中的定值一般分成两类; (1) 定量问题:如定长9188,定角.定比.定平方和.定倒数和等; (2) 定形问题;如定点.定直线.定圆.定弧.定方向等. 解定值问题时,首先,应分清图形中固定元素和变动元素;其次.通过特殊位置,探寻隐含的.在运动变化中没有改变的元素,,这就是我们要探求的定值;最后,在一般情况下编出证明,通俗讲有三句话 (1) 以静制动; (2) 特殊位置寻结论 (3)一般位置寻证明. 赛题解密 例1(第18届加拿大竞赛题)如图20-1所示,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,过S作SP⊥AB于P. 求证:不管ST滑到什么位置,∠SPM是一定角. 【解密】不管ST滑到什么位置,∠SOT的度数是定值,从而以探寻∠SPM与∠SOT的关系入手. 【解】连接OM.SO.TO. ∵SM=ST ∴OM⊥ST ∵SP⊥OP ∴S.M.O.P四点共圆 ∴∠SPM=∠SOM= ∠SOT为定值角 【探秘】通过四点共圆,巧妙地利用圆的基本性质解决定值问题.合理.简捷. 例2 (1998年广州,重庆等五市初中数学竞赛题)AB为定圆O中的定弦,作⊙O中的弦 ,对其中每个i(i=1,2,…,1988). 都被弦AB平分于Mi.过 分别作⊙O的切线,两切线交于 .求证:点 与某定点等距离,并指出这个定点是什么? 【解密】首先.我们来确定合乎条件的那个定点,如图20- 2所示,设⊙O的半径是R,过 A、 B两点的切线交于 P, OP交AB于E. 当Mi趋近于A(B)时,Pi趋于 A(B).但是与 P、 A、 B等距离的点是△ABP的外 心,即OP的中点 Q.可见定点应为Q.现在我们只要能证明∠0PiP= 90°,那么问题就解决了. 【略证】∵OCi2=OMi·OPi, OA2=OE·OP, OCi=OA ∴OMi·OPi=OE·OP,即OMi:OP=OE:OPi ∴△OMiE∽△OPPi 又∵∠MiEP=900, ∴∠OPiP=900, ∴PiQ=QO= . 故点 与定点Q(OP的中点)等距离. 例3(1987年全国数学奥林匹克试题)等腰三角形ABC中,AB=BC,过顶点B作直线l∥AC