[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第19讲 四点共圆

第19讲 四点共圆 赛点扫描 四点共圆的判定方法: (1)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆. (2)同底同侧张等角的三角形,各顶点共圆. (3)若四边形 的对角线相交于 ,且 ,则它的四个顶点共圆. (4)若四边形 的一组对边 、 的延长线相交于 ,且 ,则它的四个顶点共圆. 赛题解密 例1(1998年全国初中数学竞赛题)直线 和 与 分别相切于 、 两点, 为圆上一点, 到 、 的距离分别为4厘米、6厘米,那么 到 的距离为_厘米. 【解密】如图19—1所示,过 作 、 、 ,题目要求 的距离,而我们仅知道 , ,如果我们能找出 、 、 之间的关系,就能解决问题.连接 、 ,根据条件容易猜出四边形 与 相似,从而猜测 与 相似. 【解】过 作 、 、 ,易知 、 、 、 四点共圆, 、 、 、 四点共圆. ∴ , , 故 , 则有 , 得 (厘米). 例2(重庆市竞赛题)如图19—2所示,在 中,高 、 相交于 ,且 , 为 内的一点,且 , ,连接 ,求证: 平分 . 【解密】经计算可得 , , 皆为等腰直角三角形,只需证 .由 ,得 、 、 、 四点共圆,运用圆中角转化灵活的特点证明. 【解】∵ , , , ∴ 、 、 、 四点共圆,得 , 又 ,得 ,故 平分 . 例3(1993年太原市初中数学竞赛题)如图19—3所示,已知 的高 、 交于 , 、 的外接圆分别为 和 ,求证: 与 的半径相等. 【解密】要证 和 的半径相等,首先应在图上表示出来,于是我们过 作 、 的直径 、 ,然后证明 . 【证明】 作 、 的直径 、 ,连接 、 ,因为 ,所以 、 、 共线, 因为 、 、 、 共圆,所以 , 因为 、 、 、 共圆,所以 , 又因为 、 、 、 共圆,所以 , 于是, ,有 ,故 与 的半径相等. 例4(2004年太原市竞赛题)如图19—4所示,已知 内接于 , 、 为 的切线,作 ,交 于 ,连接 并延长交 于 ,求证: . 【解密】要证明 ,只需证明 即可,连 , , ,将问题转化为证明 . 【解】连接 、 ,则 ,∵ ,∴ ,得 ,则 、 、 、 四点共圆,得 ,∴ , ,故 . 例5(四川省联赛题)如图19—5所示, 是 外一点, 切 于 , 是 的割线, 于 .求证: . 【解密】因所证比例线段不是对应边,故不能通过判定 与