[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第17讲-圆与圆

第17讲 圆与圆 赛点扫描 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内涵五种情形。判定两圆的位置关系有如下三种方法: 1通过两圆交点的个数确定。 2通过两圆的半径与圆心距的大小确定[来源:Z_xx_k.Com] 3通过两圆的公切线条数确定。 为了沟通两圆,常常添加与两圆有关系的一些线段,如公共弦、公切线、连 心线、以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。熟悉以下基本图形、基本结论: 赛题解密 例1.(2005年天津市竞赛题)如图17-1所示,圆心为A、B、C的三个圆彼此相切,且均与直线l相切,若⊙A、⊙B、⊙C 的半径分别为a、b、c(0<c<a<b),则a、b、c一定 满足的关系式为 ( ) A. B. C. D. 【解密】从两圆相切位置关系入手,分别探讨两圆半径与公切线的关系,解题的关键是作圆的基本辅助线. 【解】选D.连接AB, , ,作 .则 ,即 同理, . .由 ,得 ,故 . 【例2】(2005年河北省竞赛题)如图17-2所示, 矩形内放置八个半径为1的圆,其中相邻两圆都相切, 并且左上角和右下角的两圆与矩形的两边都相切,其 他的圆与矩形的一边相切,则该矩形的面积为_. 【解密】连接两两相邻三个圆的圆心,运用圆和圆以及直线和圆相切的性质,求出矩形长与宽. 【解】矩形相邻两边的长分别为9, ,其面积为 . 【探密】涉及两圆位置关系的计算题,常作半径、连心线、结合切线性质等构造直角三角形,将分散的条件集中,通过解直角三角形求解. 例3.(1996年黄冈初中数学竞赛题)如图17-3 所示,直线上按顺序有4个点A、B、C、D,且 AB:BC:CD=2:1:3,分别以AC、BD为直径作⊙ 、 ⊙ 。两圆交于E、F,求ED:EA的值. 【解密】连接EB、EC,∵AB:BC:CD=2:1:3, ∴C是AD的中点,于是我们作CG∥ED,则G也是AE 的中点,从而ED:EA=CG:EG。因为AC是⊙ 的直径,所以∠AEC=90°,从而 为直角三角形,如果 也为等腰三角形. 【解】连接EB、EC,过C作CG∥ED交BE于H点。 ∵AB:BC:CD=2:1:3, ∴AC:CD=3:3,即AC=CD.故C为AD中点,由CG∥ED知G为AE的中点, 因为CH∥ED,所以CH:ED=BC:BD=1:4, 而CG:BD=1:2,所以CH= CG,即H