[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第13讲 解直角三角形

第13讲 解直角三角形 赛点扫描 从直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)探求其未知的一些元素的问题叫解直角三角形.解直角三角形的关键是合理选用边角关系,它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念,解直角三角形的应用主要有以下两方面: (1)求线段的长、角的度数 许多几何计算问题都可归结为解直角三角形.[来源:Z。xx。k.Com] (2)解决实际问题 应用三角函数解决的实际问题主要涉及测量、建筑、工程技术和物理学,解决问题的关键是在理解有关名词意义的基础上,把实际问题抽象为几何图像,转化为解直角三角形. 赛题解密 例1.(重庆市竞赛题)如图13 -1所示,在四边形ABCD中,AB= ,BC=1,CD=3,∠B=135°,∠C= 90°,则∠D等于 ( ) A. 60° B.67.5° C.75° D.不能确定 【解密】 通过对内分割或向外补形,构造直角三角形. 【解】 如图13 -1所示,过A作AE⊥CD于点E,过B作BF⊥AE于点F,易知∠ABF =45°, ∴BF=AF= AB= ×( )= , ∴DE=DC-CE=DC-BF= 3-( )= , AE =AF+EF=AF+BC= +1= , ∴tan∠D= . ∴∠D=67.5°,故选B. 例2. (1998年山东省初中数学竞赛题)已知等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,点D在CB的延长线上,且BD=AB,则∠ADB的余切值是 ( ) A. B. C. D. 【解密】 先画出图形,如图13 -2所示,设AC=BC=a,易得A= a,即BD= a.所以CD=CB+BD=a+ a,于是可求得cot∠ADB的值. 【解】 设等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=a,于是斜边AB= a,所以BD=AB= a, 得CD=CB+BD=(1+ )a, 在Rt△ABC中,cot∠ADB= = =1+ . 故选A. 例3. (1996年山东省初中数学竞赛题)如图13-3所示,两条宽度均为40m的国防公路相交成α角,那么这两条公路的相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是 ( ) A. B. C.1600sinαm2 D.1600cosαm2 【解密】 两条公路相交处的公共部分一定是菱形,过A作AD⊥BC,需要特别注意的是:公路宽度为40m,应是AD=40m. 【解】 如图13 -3所示,作AD⊥BC