[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第15讲 直线与圆

第15讲 直线与圆 赛点扫描 直线与圆有三种位置关系:直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离. 已知直线l和圆O,设圆的半径为R,圆心O到直线l的距离为d,那么有 直线l与圆O相交 d<R; 直线l与圆O相切 d=R; 直线l与圆O相离 d>R. 与圆O相交的直线叫做圆的割线,与圆O相切的直线叫做圆的切线,或直线l与圆O相切,切点为T,则l⊥OT. 过圆O外一点P,有且仅有两条切线,并且切线长相等,OP平分这两条切线所夹的角. 弦切角等于同弧所对的圆周角. 赛题解密 例1(第18届江苏省竞赛题)如图15-1所示,⊙O是Rt△ABC的内切圆,切点为D、F、E,若AF、BE的长度是方程 的两个根,则△ABC的面积是 . 【解密】连接OE、OF,易证四边形OECF为正方形,解题的关键是求出CE、CF的长. 【解】AF=10,BE=3,AB=13,设CF=CE=x,则 ,解得x=2, . 例2(1998年江苏省初中数学竞赛题)如图15-2所示,AB是半圆的直径,AC⊥AB,AC=AB,在半圆上任取一点D,作DE⊥CD,交直线AB于点E,BF⊥AB,交线段AD的延长线于点F. (1)设 是x°的弧,若要使点E在BA的延长线上,则x的取值范围是 . (2)不论点D取在半圆的什么位置,图中除AB=AC外,还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线段,并予证明.[来源:学#科#网] 【解密】本题第(2)小题是一个探索题,它并没有现成的结论,需要我们去观察、猜测,然后证明,对于这种题目,我们一般利用特殊位置并对运动变化趋势作判断,从而猜测BE=BF.[来源:学科网] 【解】(1)0<x<90°. (2)连接BD,因为AB是半圆的直径,所以BD⊥AD,又因为BF⊥AB,所以△BDF∽△ADB,于是有 ,在△BDE和△ADC中,因为∠DBE=∠DAC,∠BDE=∠ADC=90°-∠ADE,所以△BDE∽△ADC,又有 ,故 .因为AB=AC,所以BE=BF. 例3(1996年江苏省初中数学竞赛题)如图15-3所示,AB、BC、CD分别与圆相切于E、F、G,AB=BC=CD,连接AC与BD相交于点P,连接PF,求证:PF⊥BC. 【解密】本题如果延长BA、CD,这样下去很难证明PF⊥BC.实际上,如果把圆心O设出来,然后证明P、O、T三点共线即可. 【证明】设圆心为O,连接BO,CO,根据